DELJENIK : DELILAC = KOLIČNIK
Deljenje bez ostatka:
585 : 15 = 39
-45
----
135
-135
------
0
* Kada su deljenik i delilac prirodni brojevi, a količnik takodje prirodan broj onda kažemo da delilac deli deljenik, a to se zapisuje ovako delilac∣deljenik tj. (u gornjem primeru) 15∣585
Deljenje sa ostatkom
85 : 7 = 12 (1)
-7
-----
15
-14
------
1
* Ostatak pri deljenju mora uvek biti manji od delioca!
primer
1019 : 10 = 101 (9)
-10
------
01
-00
------
19
-10
-------
9
* Delilac nekog broja je svaki prirodan broj kojim je taj broj deljiv.
primer: 18 : 2 = 9 (dva je delilac broja 18)
* Sadržilac nekog broja je svaki prirodan broj koji je deljiv tim brojem
primer: 18 : 2 = 9 (18 je sadržilac broja 2)
* Skup delilaca se obeležava velikim slovom D i traženim brojem u indeksu. Na primer za broj 5 se zapisuje: D₅.
primeri;
Napiši skup svih delilaca broja 5
D₅ = {1, 5} jer se broj 5 može dobiti jedino kada se pomnože 1 i 5
Napiši skup svih delilaca broja 20
D₂₀ = {1, 2, 4, 5, 10, 20} jer se broj 20 može dobiti množenjem 1x20; 2x10 i 4x5
* Svaki skup delilaca nekog broja počinje sa 1, a završava se tim (traženim) brojem. (kao u gornjem primeru počeo je sa 1, a završio se sa 20)
* Elementi skupa su svi brojevi kojima je moguće podeliti traženi broj, a da nema ostatka (u gornjem primeru je traženi broj 20, a njega možemo deliti sa 1, 2, 4, 5, 10 i 20)
još jedan primer:
D₆₀ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} broj 60 se dobija: 1x60; 2x30, 3x20, 4x15, 5x12 i 6x10
* Svaki skup sadržilaca se obeležava velikim slovom S i brojem u indeksu. Na primer za broj 8 zapisuje se S₈
* Ovi skupovi imaju beskonačan broj elemenata i uvek počinju tim (traženim) brojem.
* Pravilo za pronalaženje elemenata tog skupa: prvo se upiše traženi broj, a zatim se on množi sa 2, 3, 4, 5 ...
primeri
S₈ = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ...} - prvo smo upisali tra\eni broj 8, a zatim 8 množili sa 2, 3, 4, 5, 6, 7... (nije važno koliko puta pomnožite ovaj broj pre nego što stavite tačke za beskonačno)
Zadatak
Odredi sve trocifrene brojeve koji manji ili jednaki broju 300, a koji su i sadržaoci broja 25 i delioci broja 300
prvo tražimo sadržioce broja 25
S₂₅ = {25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300}
a zatim delioce broja 300
D₂₅ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 30, 60, 70, 75, 100, 150, 300} 1x300, 2x150, 3x100, 4x75, 5x 60, 6x70 i 10x30
zajednički elementi u oba skupa su odgovor
to su brojevi 100, 150 i 300
* Zbir brojeva je deljiv nekim brojem ako je svaki od tih sabiraka deljiv tim brojem
5∣(25 + 15) ovo tvrdjenje je tačno jer su i 25 i 15 deljivi sa 5, tako da i bez provere znamo da je i zbir deljiv sa 5
5∣(7 + 8) kada oba broja nisu deljiva sa traženim brojem moramo izvršiti proveru, odnosno sabrati dva broja 8 + 7 = 15, sada znamo da je i ovo tvrdjenje tačno
* Razlika (kao i kod sabiranja) brojeva je deljiva nekim brojem ako umanjenik i umanjilac deljivi tim brojem
8∣(48 - 16) oba broja su deljiva sa 8 tako da znamo da je i razlika deljiva sa 8
8∣(35 - 3) ovde mora da se radi provera 35 - 3 = 32, i ovo tvrdjenje je tačno
* Proizvod dva broja je deljiv nekim brojem ako je makar jedan činioc deljiv tim brojem
4∣(16 x 9) - tačno tvrdjenje zato što je jedan činioc (16) deljiv sa 4
Zadatak
Ako je tačno tvrdjenje 18∣378 pronadji netačna tvrdjenja
1∣378 2∣378 3∣378 4∣378 9∣378 12∣378
ovo se proverava tako što se proverava deljivost delioca tj.
1∣18 2∣18 3∣18 4∣18 9∣18 12∣18 (samo 4 i 12 nisu deljivi sa 18)
odavde vidimo da su netačna tvrdjenja
4∣378 i 12∣378
Dekadni brojevi su 10, 100, 1000, 10000 ...
Neki broj je deljiv dekadnom jedinicom, samo ako se taj broj završava sa minimum onoliko nula koliko ima ta dekadna jedinica.
da pojasnim
* Sa 10 su deljivi svi brojevi koji na kraju imaju bar jednu nulu (npr. 50, 470, 1580 ,,,)
* Sa 100 su deljivi svi brojevi koji se završavaju sa bar dve nule (npr 1100, 14500 ...)
* Sa 1000 su deljivi svi brojevi koji na svom završetku imaju bar tri nule (npr 12000, 181000 ,,,)
2 - svi parni brojevi koji se završavaju na 0, 2, 4, 6 i 8 (npr. 188, 240, 2308 ...)
4 - svi brojevi čije su zadnje dve cifre deljive sa 4 (npr. 432, 1236, 5000 ...)
* Nula je deljiva sa svakim brojem
5 - svi brojevi čije su zadnje cifre 0 i 5 (npr 440, 1225, 1815 ...)
25 - Svi brojevi čije su zadnje dve cifre 00, 25, 50 i 75 (npr 180, 225, 1050, 2775 ...)
Zadatak
Pronadji najveći četvorocifren broj deljiv sa 2, 4, 5 i 25
9999
zapisali smo najveći četvorocifren broj sada gledamo uslove paran, deljiv sa četiri, da se završava na o ili 5, tj na 00, 25, 50, 75
9975 nije paran, 9950 nije deljiv sa 4, 9925 nije paran, 9900 ovaj broj ispunjava sve uslove
odgovor: 9900
3 - svi brojevi čiji je zbir cifara deljiv sa tri (npr. 189, 234, 1008 ...)
objašnjenje
189 je 1 + 8 + 9 = 18 (18 je deljivo sa 3 pa je i 189 deljivo sa 3)
234 je 2 + 3 + 4 = 9 (9 je deljivo sa 3 pa je i 234 deljivo sa 3)
1008 je 1 + 0 + 0 + 8 = 9 (9 je deljivo sa 3 pa je i 1008 deljivo sa 3)
9 - svi brojevi čiji je zbir cifara deljiv sa 9 (npr. 1188, 2151 ...)
objašnjenje
1188 je 1 + 8 + 8 + 1 = 18 (18 je deljivo sa 9 pa je i 1188 deljivo sa 9)
2151 je 2 + 1 + 5 + 1 = 9 (9 je deljivo sa 9 pa je i 2151 deljivo sa 9)
Zadatak
Koje cifre se mogu staviti umesto zvezdice tako da važi:
a) 3∣54*
uvećavamo broj za 3 kako bi ostao deljiv, a krećemo id 0 zata što 5 + 4 jesu deljivi sa 3
5 + 4 + 0 = 9
5 + 4 + 3 = 12
5 + 4 + 6 = 15
5 + 4 + 9 = 18
3∣54* umesto zvezdice mogu stajati 0, 3, 6 i 9
b) 3∣1*30
kreće od 2 zato što je 1 + 3 = 4 a 2 fali do prvog broja deljivog sa 3
1 + 3 + 2 = 6
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 8 = 12
3∣1*30 umesto zvezdice mogu stajati 2, 5, 8
c) 3∣*91
9 + 1 + 2 = 12
9 + 1 + 5 = 15
9 + 1 + 8 = 18
3∣*91 umesto zvezdice mogu stajati 2, 5, 8
d) 9∣97*43
9 + 7 + 4 + 3 + 4 = 27
9∣97*43 umesto zvezdice može stajati 4
(druge brojeve ne proveravamo zato što je prvi sledeći 4 + 9 a njihov rezultat nije cifra već broj)
* Cifre su 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
* Da bi neki broj bio deljiv sa 6 on mora biti deljiv sa 2 i sa 3 (3x2=6)
Jednostavnije, taj broj mora da ispuni dva uslova: da je paran (deljiv sa 2) i da je zbir cifara koji ga čine deljiv sa 3 (ispunjava uslov broja 3)
primer
174 je deljiv sa 6 zato što je paran broj i zato što je zbir 1 + 7 + 4 = 12 deljiv sa brojem tri
* Da bi neki broj bio deljiv sa 12 on mora biti deljiv sa 3 i 4 (3x4=12)
Jednostavnije, taj broj mora da ispuni dva uslova: da je zbir cifara tog broja deljiv sa 3 (uslov broja 3) i da su njegove zadnje dve cifre deljive sa 4 (uslov broja 4)
primer
744 je deljiv sa 12 zato što je 7 + 4 + 4 = 15, a 15 je deljivo sa 3 i zato što je 44 deljivo sa 4 (44:4=11)
* Da bi neki broj bio deljiv sa 15 on mora biti deljiv sa 3 i 5 (3x5=15)
Jednostavnije, taj broj mora da ispuni dva uslova: zbir cifara tog broja mora biti deljiv sa 3 i mora da se završava na 0 ili 5
primer
7245 je deljiv sa 12 zato što je 7 + 2 + 4 + 5 = 18, a 18 je deljivo sa 3 i zato što se broj završava sa 5
* Prosti brojevi su oni koji imaju samo dva delioca, a to su 1 i sam taj broj (primer: 23 je moguće podeliti samo sa brojem 1 i sa brojem 23, zato je on prost broj). Može se reći i da su deljivi brojem jedan i samim sobom.
* Složeni brojevi su svi brojevi koji imaju više od dva delioca (primer: 18 je moguće podeliti brojevima 1, 2, 3, 6, 9 i 18, ovo je složen broj)
* Jedan (1) nije prost broj zato što nema 2 delioca
Zadatak
Napiši delioce datih brojeva i odredi da li su prost ili složeni
1 - 1
2 - 1, 2 prost
3 - 1,3 prost
4 - 1,2, 4 složen
5 - 1, 5 prost
6 - 1, 2, 3, 6 složen
7 - 1, 7 prost
8 - 1, 2, 4 složen
9 - 1, 3, 9 složen
Mala pomoć oko prostih brojeva
Prosti brojevi do 100 su: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61
67 71 73 79 83 89 97
Nakon broja 2 svi drugi prosti brojevi su neparni zato što je svaki paran broj deljiv sa 2 pa samim tim ima i više od dva delioca
ako vam je potrebno i Eratostenovo sito evo ga do broja 100
* Rastavljanje na proste činioce nekog broja podrazumeva da se taj broj predstavi u obliku proizvoda prostih brojeva
primeri
15 je lako rastaviti na 3 i 5 (3x5=15), a 3 i 5 su prosti brojevi
24
/ \
2x12 (24 smo prvo rastavili na 2x12 i dobili jedan prost broj 2)
/ \
2x6 (pošto je 2 prost broj rastavljamo samo broj 12 i tako smo dobili još jedan prost broj 2)
/ \
2x3 (ostalo nam je još da rastavimo broj 6, a pošto su i 2 i 3 prosti činioci ovde završavamo)
lakši način
24 2
12 2
6 2
3 3
1
preostalo je još da to i zapišemo:
2 x 2 x 2 x 3 = 24
a ovo se može zapisati i kao
2³ x 3 = 12
2³ je isto što i 2 x 2 x 2
Zadatak
Proizvod prostih činilaca je zapisan kao 2³ x 3 x 5² koji je to broj?
2³ x 3 x 5² = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 8 x 3 x 25 = 24 x 25 = 600
to je broj 600
* NZD je zapravo najveći broj kojim je moguće podeliti dva ili više tražena broja
Jednostavnije, ako su traženi brojevi 12 i 24 njihov NZD mora biti najveći broj kojim je moguće podeliti i 12 i 24. Znamo da su ova dva broja deljiva sa 1, 2,3 ... ali je najveći broj kojim možemo podeliti ova dva broja broj 12, a to zapisujemo ovako:
NZD(8, 12) = 12
ponekad, u zadacima će umesto NZD stajati samo D što znači da smo gornje rešenje mogli da zapišemo i kao
D(12, 24) = 12
E, sad.. Evo kako smo do ovoga stigli
Oba tražena broja moraju biti deljiva sa prostim brojem...
proveravamo deljivost oba broja sa prostim brojevima počev od najmanjeg
12 24 2
6 12 2 (i dalje je moguće podeliti ih sa 2)
3 6 3 (brojeve 3 i 6 delimo sledećim prostim brojem)
3 2 - ovo su uzajamno prosti brojevi
Uzajamno prosti brojevi se mogu podeliti samo brojem 1
e, sad... potrebno je da pomnožimo proste brojeve koje smo zapisali:
2 x 2 x 3 = 4 x 3 = 12
znači
NZD(12, 24) = 12
primeri
Da ponovimo... Potragu za NZD brojem počinjte od najmanjeg prostog broja, broja 2. Kada ne možete oba broja da podelite sa 2, prelazite na sledeći najmanji prost broj a to je broj 3, pa 5, pa 7 itd.
kratak primer
NZD(350, 455)
Dvojka ne može zato što je 455 neparan. Trojka ne može zato što zbir cifara je u jednom slučaju 8 (što je dovoljno) a u drugom 14. Idemo na sledeći, a to je prost broj 5, on ispunjava uslov zato što se oba broja završavaju na 0 ili 5
350 455 5
70 91
70 i 91 su uzajamno prosti brojevi jer se mogu podeliti samo brojem 1, što znači
NZD(350, 455) = 5
* NZS je zapravo najmanji broj koji je moguće podeliti sa dva tražena broja
primer
Ako su dati brojevi 3 i 5 njihov NZS, odnosno broj koji je moguće podeliti i sa 3 i sa 5, je 15. To zapisujemo ovako:
NZS(3,5) = 15
ili ovako
S(3,5) = 15
Evo kako smo do ovoga došli
kada tražimo NZS dovoljno je da samo jedan od brojeva bude deljiv sa prostim brojem; i ovde krećemo od najmanjeg prostog broja
pošto ni 3 ni 5 nisu deljivi sa 2, prelazimo na sledeći prost broj 3. On jeste deljiv sa 3 i to je dovoljno
3 5 3
1 5 5
1 1
Kad stignemo do obe 1 završavamo postupak. U gornjem slučaju smo sa brojem 3 prvo završili i potom samo prepisivli jedinicu na kraju, a potom smo našli i najmanji prost broj kojim je deljiv broj 5 (a to je broj 5 jer 2 i 3 nisu deljivi sa 5) i potom smo i njega sveli na broj 1)
Ostalo nam je (kao i kod NZD broja) da pomnožimo proste broje:
NZS(3,5) = 3 x 5 = 15
NZS(3,5) = 15
primeri
Pazi da uvek krećeš od najmanjeg prostog broja kojim je moguće podeliti bar jedan od traženih brojeva!
primer
ako su dati brojevi 10 i 25 nikad ne krećeš sa 5 kojim su deljiva oba broja, već sa brojem 2 zato što je 10 deljivo sa 2!!!
10 25 2
5 25 5
1 5 5
1 1
NZS(10, 25) = 2 x 5 x 5 = 10 x 5 = 50
Postoje još neki načini za pronalaženje NZD i NZS broja mada se ova dva (već objašnjena načina) najviše koriste
Idemo... NZD sva tri načina
NZS oba načina
Deljenje bez ostatka:
585 : 15 = 39
-45
----
135
-135
------
0
* Kada su deljenik i delilac prirodni brojevi, a količnik takodje prirodan broj onda kažemo da delilac deli deljenik, a to se zapisuje ovako delilac∣deljenik tj. (u gornjem primeru) 15∣585
Deljenje sa ostatkom
85 : 7 = 12 (1)
-7
-----
15
-14
------
1
* Ostatak pri deljenju mora uvek biti manji od delioca!
primer
1019 : 10 = 101 (9)
-10
------
01
-00
------
19
-10
-------
9
Delilac i Sadržilac
* Delilac nekog broja je svaki prirodan broj kojim je taj broj deljiv.
primer: 18 : 2 = 9 (dva je delilac broja 18)
* Sadržilac nekog broja je svaki prirodan broj koji je deljiv tim brojem
primer: 18 : 2 = 9 (18 je sadržilac broja 2)
Skupovi Delilaca
* Skup delilaca se obeležava velikim slovom D i traženim brojem u indeksu. Na primer za broj 5 se zapisuje: D₅.
primeri;
Napiši skup svih delilaca broja 5
D₅ = {1, 5} jer se broj 5 može dobiti jedino kada se pomnože 1 i 5
Napiši skup svih delilaca broja 20
D₂₀ = {1, 2, 4, 5, 10, 20} jer se broj 20 može dobiti množenjem 1x20; 2x10 i 4x5
* Svaki skup delilaca nekog broja počinje sa 1, a završava se tim (traženim) brojem. (kao u gornjem primeru počeo je sa 1, a završio se sa 20)
* Elementi skupa su svi brojevi kojima je moguće podeliti traženi broj, a da nema ostatka (u gornjem primeru je traženi broj 20, a njega možemo deliti sa 1, 2, 4, 5, 10 i 20)
još jedan primer:
D₆₀ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} broj 60 se dobija: 1x60; 2x30, 3x20, 4x15, 5x12 i 6x10
Skupovi Sadržilaca
* Svaki skup sadržilaca se obeležava velikim slovom S i brojem u indeksu. Na primer za broj 8 zapisuje se S₈
* Ovi skupovi imaju beskonačan broj elemenata i uvek počinju tim (traženim) brojem.
* Pravilo za pronalaženje elemenata tog skupa: prvo se upiše traženi broj, a zatim se on množi sa 2, 3, 4, 5 ...
primeri
S₈ = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ...} - prvo smo upisali tra\eni broj 8, a zatim 8 množili sa 2, 3, 4, 5, 6, 7... (nije važno koliko puta pomnožite ovaj broj pre nego što stavite tačke za beskonačno)
Zadatak
Odredi sve trocifrene brojeve koji manji ili jednaki broju 300, a koji su i sadržaoci broja 25 i delioci broja 300
prvo tražimo sadržioce broja 25
S₂₅ = {25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300}
a zatim delioce broja 300
D₂₅ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 30, 60, 70, 75, 100, 150, 300} 1x300, 2x150, 3x100, 4x75, 5x 60, 6x70 i 10x30
zajednički elementi u oba skupa su odgovor
to su brojevi 100, 150 i 300
Svojstva deljivosti
* Zbir brojeva je deljiv nekim brojem ako je svaki od tih sabiraka deljiv tim brojem
5∣(25 + 15) ovo tvrdjenje je tačno jer su i 25 i 15 deljivi sa 5, tako da i bez provere znamo da je i zbir deljiv sa 5
5∣(7 + 8) kada oba broja nisu deljiva sa traženim brojem moramo izvršiti proveru, odnosno sabrati dva broja 8 + 7 = 15, sada znamo da je i ovo tvrdjenje tačno
* Razlika (kao i kod sabiranja) brojeva je deljiva nekim brojem ako umanjenik i umanjilac deljivi tim brojem
8∣(48 - 16) oba broja su deljiva sa 8 tako da znamo da je i razlika deljiva sa 8
8∣(35 - 3) ovde mora da se radi provera 35 - 3 = 32, i ovo tvrdjenje je tačno
* Proizvod dva broja je deljiv nekim brojem ako je makar jedan činioc deljiv tim brojem
4∣(16 x 9) - tačno tvrdjenje zato što je jedan činioc (16) deljiv sa 4
Zadatak
Ako je tačno tvrdjenje 18∣378 pronadji netačna tvrdjenja
1∣378 2∣378 3∣378 4∣378 9∣378 12∣378
ovo se proverava tako što se proverava deljivost delioca tj.
1∣18 2∣18 3∣18 4∣18 9∣18 12∣18 (samo 4 i 12 nisu deljivi sa 18)
odavde vidimo da su netačna tvrdjenja
4∣378 i 12∣378
Deljivost dekadnim jedinicama
Dekadni brojevi su 10, 100, 1000, 10000 ...
Neki broj je deljiv dekadnom jedinicom, samo ako se taj broj završava sa minimum onoliko nula koliko ima ta dekadna jedinica.
da pojasnim
* Sa 10 su deljivi svi brojevi koji na kraju imaju bar jednu nulu (npr. 50, 470, 1580 ,,,)
* Sa 100 su deljivi svi brojevi koji se završavaju sa bar dve nule (npr 1100, 14500 ...)
* Sa 1000 su deljivi svi brojevi koji na svom završetku imaju bar tri nule (npr 12000, 181000 ,,,)
Deljivost sa 2, 4, 5 i 25
2 - svi parni brojevi koji se završavaju na 0, 2, 4, 6 i 8 (npr. 188, 240, 2308 ...)
4 - svi brojevi čije su zadnje dve cifre deljive sa 4 (npr. 432, 1236, 5000 ...)
* Nula je deljiva sa svakim brojem
5 - svi brojevi čije su zadnje cifre 0 i 5 (npr 440, 1225, 1815 ...)
25 - Svi brojevi čije su zadnje dve cifre 00, 25, 50 i 75 (npr 180, 225, 1050, 2775 ...)
Zadatak
Pronadji najveći četvorocifren broj deljiv sa 2, 4, 5 i 25
9999
zapisali smo najveći četvorocifren broj sada gledamo uslove paran, deljiv sa četiri, da se završava na o ili 5, tj na 00, 25, 50, 75
9975 nije paran, 9950 nije deljiv sa 4, 9925 nije paran, 9900 ovaj broj ispunjava sve uslove
odgovor: 9900
Deljivost sa 3 i 9
3 - svi brojevi čiji je zbir cifara deljiv sa tri (npr. 189, 234, 1008 ...)
objašnjenje
189 je 1 + 8 + 9 = 18 (18 je deljivo sa 3 pa je i 189 deljivo sa 3)
234 je 2 + 3 + 4 = 9 (9 je deljivo sa 3 pa je i 234 deljivo sa 3)
1008 je 1 + 0 + 0 + 8 = 9 (9 je deljivo sa 3 pa je i 1008 deljivo sa 3)
9 - svi brojevi čiji je zbir cifara deljiv sa 9 (npr. 1188, 2151 ...)
objašnjenje
1188 je 1 + 8 + 8 + 1 = 18 (18 je deljivo sa 9 pa je i 1188 deljivo sa 9)
2151 je 2 + 1 + 5 + 1 = 9 (9 je deljivo sa 9 pa je i 2151 deljivo sa 9)
Zadatak
Koje cifre se mogu staviti umesto zvezdice tako da važi:
a) 3∣54*
uvećavamo broj za 3 kako bi ostao deljiv, a krećemo id 0 zata što 5 + 4 jesu deljivi sa 3
5 + 4 + 0 = 9
5 + 4 + 3 = 12
5 + 4 + 6 = 15
5 + 4 + 9 = 18
3∣54* umesto zvezdice mogu stajati 0, 3, 6 i 9
b) 3∣1*30
kreće od 2 zato što je 1 + 3 = 4 a 2 fali do prvog broja deljivog sa 3
1 + 3 + 2 = 6
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 8 = 12
3∣1*30 umesto zvezdice mogu stajati 2, 5, 8
c) 3∣*91
9 + 1 + 2 = 12
9 + 1 + 5 = 15
9 + 1 + 8 = 18
3∣*91 umesto zvezdice mogu stajati 2, 5, 8
d) 9∣97*43
9 + 7 + 4 + 3 + 4 = 27
9∣97*43 umesto zvezdice može stajati 4
(druge brojeve ne proveravamo zato što je prvi sledeći 4 + 9 a njihov rezultat nije cifra već broj)
* Cifre su 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Deljivost sa 6, 12 i 15
* Da bi neki broj bio deljiv sa 6 on mora biti deljiv sa 2 i sa 3 (3x2=6)
Jednostavnije, taj broj mora da ispuni dva uslova: da je paran (deljiv sa 2) i da je zbir cifara koji ga čine deljiv sa 3 (ispunjava uslov broja 3)
primer
174 je deljiv sa 6 zato što je paran broj i zato što je zbir 1 + 7 + 4 = 12 deljiv sa brojem tri
* Da bi neki broj bio deljiv sa 12 on mora biti deljiv sa 3 i 4 (3x4=12)
Jednostavnije, taj broj mora da ispuni dva uslova: da je zbir cifara tog broja deljiv sa 3 (uslov broja 3) i da su njegove zadnje dve cifre deljive sa 4 (uslov broja 4)
primer
744 je deljiv sa 12 zato što je 7 + 4 + 4 = 15, a 15 je deljivo sa 3 i zato što je 44 deljivo sa 4 (44:4=11)
* Da bi neki broj bio deljiv sa 15 on mora biti deljiv sa 3 i 5 (3x5=15)
Jednostavnije, taj broj mora da ispuni dva uslova: zbir cifara tog broja mora biti deljiv sa 3 i mora da se završava na 0 ili 5
primer
7245 je deljiv sa 12 zato što je 7 + 2 + 4 + 5 = 18, a 18 je deljivo sa 3 i zato što se broj završava sa 5
Prosti i Složeni Činioci
* Prosti brojevi su oni koji imaju samo dva delioca, a to su 1 i sam taj broj (primer: 23 je moguće podeliti samo sa brojem 1 i sa brojem 23, zato je on prost broj). Može se reći i da su deljivi brojem jedan i samim sobom.
* Složeni brojevi su svi brojevi koji imaju više od dva delioca (primer: 18 je moguće podeliti brojevima 1, 2, 3, 6, 9 i 18, ovo je složen broj)
* Jedan (1) nije prost broj zato što nema 2 delioca
Zadatak
Napiši delioce datih brojeva i odredi da li su prost ili složeni
1 - 1
2 - 1, 2 prost
3 - 1,3 prost
4 - 1,2, 4 složen
5 - 1, 5 prost
6 - 1, 2, 3, 6 složen
7 - 1, 7 prost
8 - 1, 2, 4 složen
9 - 1, 3, 9 složen
Mala pomoć oko prostih brojeva
Prosti brojevi do 100 su: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61
67 71 73 79 83 89 97
Nakon broja 2 svi drugi prosti brojevi su neparni zato što je svaki paran broj deljiv sa 2 pa samim tim ima i više od dva delioca
ako vam je potrebno i Eratostenovo sito evo ga do broja 100
Rastavljanje na proste činioce
* Rastavljanje na proste činioce nekog broja podrazumeva da se taj broj predstavi u obliku proizvoda prostih brojeva
primeri
15 je lako rastaviti na 3 i 5 (3x5=15), a 3 i 5 su prosti brojevi
24
/ \
2x12 (24 smo prvo rastavili na 2x12 i dobili jedan prost broj 2)
/ \
2x6 (pošto je 2 prost broj rastavljamo samo broj 12 i tako smo dobili još jedan prost broj 2)
/ \
2x3 (ostalo nam je još da rastavimo broj 6, a pošto su i 2 i 3 prosti činioci ovde završavamo)
lakši način
24 2
12 2
6 2
3 3
1
preostalo je još da to i zapišemo:
2 x 2 x 2 x 3 = 24
a ovo se može zapisati i kao
2³ x 3 = 12
2³ je isto što i 2 x 2 x 2
Zadatak
Proizvod prostih činilaca je zapisan kao 2³ x 3 x 5² koji je to broj?
2³ x 3 x 5² = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 8 x 3 x 25 = 24 x 25 = 600
to je broj 600
NZD Najmanji Zajednički Delilac
* NZD je zapravo najveći broj kojim je moguće podeliti dva ili više tražena broja
Jednostavnije, ako su traženi brojevi 12 i 24 njihov NZD mora biti najveći broj kojim je moguće podeliti i 12 i 24. Znamo da su ova dva broja deljiva sa 1, 2,3 ... ali je najveći broj kojim možemo podeliti ova dva broja broj 12, a to zapisujemo ovako:
NZD(8, 12) = 12
ponekad, u zadacima će umesto NZD stajati samo D što znači da smo gornje rešenje mogli da zapišemo i kao
D(12, 24) = 12
E, sad.. Evo kako smo do ovoga stigli
Oba tražena broja moraju biti deljiva sa prostim brojem...
proveravamo deljivost oba broja sa prostim brojevima počev od najmanjeg
6 12 2 (i dalje je moguće podeliti ih sa 2)
3 6 3 (brojeve 3 i 6 delimo sledećim prostim brojem)
3 2 - ovo su uzajamno prosti brojevi
Uzajamno prosti brojevi se mogu podeliti samo brojem 1
e, sad... potrebno je da pomnožimo proste brojeve koje smo zapisali:
2 x 2 x 3 = 4 x 3 = 12
znači
NZD(12, 24) = 12
primeri
Da ponovimo... Potragu za NZD brojem počinjte od najmanjeg prostog broja, broja 2. Kada ne možete oba broja da podelite sa 2, prelazite na sledeći najmanji prost broj a to je broj 3, pa 5, pa 7 itd.
kratak primer
NZD(350, 455)
Dvojka ne može zato što je 455 neparan. Trojka ne može zato što zbir cifara je u jednom slučaju 8 (što je dovoljno) a u drugom 14. Idemo na sledeći, a to je prost broj 5, on ispunjava uslov zato što se oba broja završavaju na 0 ili 5
350 455 5
70 91
70 i 91 su uzajamno prosti brojevi jer se mogu podeliti samo brojem 1, što znači
NZD(350, 455) = 5
NZS Najmanji Zajednički Sadržalac
* NZS je zapravo najmanji broj koji je moguće podeliti sa dva tražena broja
primer
Ako su dati brojevi 3 i 5 njihov NZS, odnosno broj koji je moguće podeliti i sa 3 i sa 5, je 15. To zapisujemo ovako:
NZS(3,5) = 15
ili ovako
S(3,5) = 15
Evo kako smo do ovoga došli
kada tražimo NZS dovoljno je da samo jedan od brojeva bude deljiv sa prostim brojem; i ovde krećemo od najmanjeg prostog broja
pošto ni 3 ni 5 nisu deljivi sa 2, prelazimo na sledeći prost broj 3. On jeste deljiv sa 3 i to je dovoljno
3 5 3
1 5 5
1 1
Kad stignemo do obe 1 završavamo postupak. U gornjem slučaju smo sa brojem 3 prvo završili i potom samo prepisivli jedinicu na kraju, a potom smo našli i najmanji prost broj kojim je deljiv broj 5 (a to je broj 5 jer 2 i 3 nisu deljivi sa 5) i potom smo i njega sveli na broj 1)
Ostalo nam je (kao i kod NZD broja) da pomnožimo proste broje:
NZS(3,5) = 3 x 5 = 15
NZS(3,5) = 15
primeri
Pazi da uvek krećeš od najmanjeg prostog broja kojim je moguće podeliti bar jedan od traženih brojeva!
primer
ako su dati brojevi 10 i 25 nikad ne krećeš sa 5 kojim su deljiva oba broja, već sa brojem 2 zato što je 10 deljivo sa 2!!!
10 25 2
5 25 5
1 5 5
1 1
NZS(10, 25) = 2 x 5 x 5 = 10 x 5 = 50
Postoje još neki načini za pronalaženje NZD i NZS broja mada se ova dva (već objašnjena načina) najviše koriste
Idemo... NZD sva tri načina
NZS oba načina
Around overwhelming incidents, your printer will also be found for the bed-sheet down the page the idea in the process. https://imgur.com/a/2HupQGy https://imgur.com/a/cRy1bh8 https://imgur.com/a/2xTKjYy https://imgur.com/a/eXdanW7 https://imgur.com/a/KoxDNXk http://e33r8wpoc0.dip.jp http://go0p7oyaev.dip.jp
ОдговориИзбриши