Matematika - Drugi Pismeni

1. Rastavi broj 196 na proste činioce.

196 | 2
  98 | 2
  49 | 7
   7  | 7
   1  | _

196 = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 7


2. Odredi NZS i NZD za brojeve 32, 56.

NZD:

32, 56 | 2
16, 28 | 2
  8, 14 | 2
  4,  7 | _

NZD (32,56) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8


NZS:

32, 56 | 2
16, 28 | 2
  8, 14 | 2
  4,   7 | 2
  2,   7 | 2
  1,   7 | 7
  1,   1 | _

NZS (32,56) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2  ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 224


3. Tri štapa dužina 48cm,60cm,90cm treba iseći na komade jednakih dužina tako da budu maksimalne moguće dužine. Koliko takvih komada možeš dobiti?

Pošto štapove moramo da delimo potreban nam je NZD

48 60  90  2
24 30  | 45  3
  8 10  15

NZD (48, 60, 90) = 2 ⋅ 3 = 6

Dužina štapova treba da bude 6cm.

Može se dobiti: 48 : 6 + 60 : 6 + 90 : 6 = 8 + 10 + 15 = 33 komada


4. Nacrtaj ugao α=86°. Konstruiši ugao δ=2α.

rešenje




5. Za koliko stepeni je ugao α=54∘ veći od svog komplementnog ugla?

Komplementni uglovi uvek moraju biti oštri uglovi, a njihov zbir je uvek prav ugao (90°)

Komplementan ugao uglu α = 54∘ je (recimo β)

β = 90° − α

β = 90° − 54° = 36°

Ugao α je veći od β za:

α − β = 54° − 36° = 18°

*****

1. Rastavi broj 250 na proste činioce.

250 | 2
125 | 5
  25 | 5
    5 | 5
    1 | _

250 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5

2. Odredi NZS i NZD za brojeve 54, 60.

NZD:

54, 60 | 2
27, 30 | 3
 9, 10 | _

NZD (54, 60) = 2 ⋅ 3 = 6


NZS:

54, 60 | 2
27, 30 | 2
27, 15 | 3
 9,    5 | 3
 3,    5 | 3
 1,    5 | 5
 1,    1 | _

NZS (54, 60) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 540


3. Jelena, Marija i Biljana često idu u školsku biblioteku. Jelena ide svakih 4 dana, Marija svakih 6 dana, Biljana svakih 8 dana. Kog datuma u septembru će sve tri ponovo zajedno posetiti biblioteku ako se zna da su to učinile 2. septembra?

Prvo odredimo NZS za brojeve 4, 6 i 8:

4, 6, 8 | 2
2, 3, 4 | 2
1, 3, 2 | 2
1, 3, 1 | 3
1, 1, 1 | _

NZS (4, 6, 8) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24

Ponovni susret će biti 26. seprembra.(24 plus 2 jer su se sreli 2. septembra)


4. Nacrtaj ugao α=56∘. Konstruiši ugao δ=3α.

rešenje



5. Za koliko stepeni je ugao α = 73° manji od svog suplementnog ugla?

Suplementni uglovi su oni uglovi čiji je zbir opružen ugao (180°)


Ugao suplementan uglu  α = 73°, neka bude:

β = 180° − 73° = 107°

Ugao α je od ugla β manji za:

β−α = 107° − 73° = 34°

*************

1. Ugao α je pet puta veći od sebi komplementnog ugla β. Izračunaj 2α+β.

β = x
α = 5x
α + β = 90°

x +5x =90°
6x = 90°
x = 90° : 6
x = 15°


β = 15°
α = 5 ⋅ 15° = 75°

2α + β = 2 ⋅ 75° + 15° = 150° + 15° = 165°


2. Odredi nepoznatu cifru x tako da je petocifreni broj 1007x deljiv sa:

a) 2;

b) 9.

Izračunaj zbir svih tako određenih petocifrenih brojeva.

a) Broj 1007x će biti deljiv sa 2, ako je paran

 x∈{0,2,4,6,8}

Brojevi su: 10070,10072,10074,10076,10078.

Zbir: 10070+10072+10074+10076+10078=50370


b) Broj 1007x će biti deljiv sa 9, ako mu je zbir cifara deliv sa 9

x∈{1}. 

Imamo samo jedno rešenje: 10071. 

To je i zbir 10071


3. Odredi najmanji zajednički sadržalac brojeva 48, 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 i 2 ⋅ 24 − 14.

48
2⋅2⋅2⋅7=56
2⋅24−14=48−14=34
_____________________

NZS 

48  56  34 | 2
24  28  17 | 2
12  14  17 | 2
  6    7  17 | 2
  3    7  17 | 3
  1    7  17  |7
  1    1  17  | 17
  1    1    1  | _

NZS (48, 56, 34) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 17 = 48 ⋅ 119 = 5712


4. Odredi najveći zajednički delilac brojeva 2300 i 1610.

2300  1610 | 2
1150    805 | 5
  230    161 | _

NZD (2300, 1610) = 2 ⋅ 5 = 10.
 

5. Broj 82 napiši u obliku zbira dva broja tako da kada se veći broj podeli manjim bude količnik 3 i ostatak 2.

Neka su brojevi A i B dva tražena broja, i neka je A veći broj. Zbir im je 82:  

A + B = 82.

Primenom jednakosti deljivosti a=b⋅q+r biće:

A : B = 3(2)
A = 3B + 2

Zbir brojeva je sada:

3B + 2 + B = 82
4B + 2 =82
4B = 82−2
4B = 80
  B = 20


A = 82 − 20 = 62

***************

1. Ugao α je pet puta manji od sebi suplementnog ugla β. Izračunaj α+2β.

α = x
β = 5x
α + β = 180°
 _______________

α + 2β =?

α + β =180°

x + 5x = 180°

6x = 180°

x = 180° : 6

x = 30°


α = x = 30°

β = 5x = 5⋅30° =150°

α + 2β = 30° + 2 ⋅ 150°

α + 2β =330°


2. Odredi nepoznatu cifru x tako da je petocifreni broj 1301x deljiv sa:

a) 5;

b) 3.

Izračunaj zbir svih tako određenih petocifrenih brojeva.

a) 

x∈{0,5}. 

Brojevi su: 13010 i 13015. 

Njihov zbir je:13010+13015=26025
;

b) 

x∈{ 1,4,7}. 

Brojevi su 13011, 13014, 13017. 

Njihov zbir je 13011+13014+13017=39042


3. Odredi najmanji zajednički sadržalac brojeva 3⋅14+6, 36 i 3⋅3⋅2⋅5,.

3⋅14+6=48
36
3⋅3⋅2⋅5=90
______________

NZS (48, 36, 90) =?

48  36  90 | 2
24  18  45 | 2
12    9  45 | 2
  6    9  45 | 2
  3    9  45 | 3
  1    3  15 | 3
  1    1    5 | 5
  1    1    1 | _

NZS (48, 36, 90) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 48 ⋅ 15 = 720


4. Odredi najveći zajednički delilac brojeva 1700 i 1190.

1700  1190 | 2
  850    595 | 5
  170    119 | 17
    10        7 | _

NZD (1700, 1190) = 2 ⋅ 5 ⋅ 17 = 170


5. Broj 51 napiši u obliku zbira dva broja tako da kada se veći broj podeli manjim bude količnik 5 i ostatak 3.

Neka su brojevi C i D dva tražena broja, i neka je C veći broj. Zbir im je 51: C+D=51


Primenom jednakosti deljivosti a=b⋅q+r biće:

C : D = 5(3)
C = 5D + 3

Zbir brojeva je sada:

5D + 3 + D = 51
6D + 3 = 51
6D = 51 − 3
6D = 48
  D = 8


C = 51 − 8 =  43

43 : 8 = 5 (3)

*************

1. Izračunaj meru ugla koji je:

a) komplementan uglu   α = 13°60′ + 49°59′

b) suplementan uglu  α = 10°35′45′′ + 78°40′50′′

a) 

α = 14° + 49°59′ = 63°59′

β = 90° − 63°59′

β = 16°1′ 

b)    

α = 10°35′45′′ + 78°40′50′′ = 88°75′95′′ = 89°16′35′′

β = 180° − 89°16′35′′

β = 179°59′60′′ − 89°16′35′′

β = 90°43′25′′


2. Odredi mere uglova s paralelnim kracima ako je je jedan od njih:

a)  četiri puta veći od drugog ugla;

b) za  160∘  manji od drugog ugla.

a) Ako uglovi s paralelnim kracima nisu jednaki, onda su suplementni:

α = x
β = 4x

5x =180°
  x = 180° : 5
  x = 36°

α = 36°
β = 4 ⋅ 36° = 144°

b)

α = x + 160°
β= x

2x + 160° = 180°
2x = 20° 
  x = 20° : 2 
  x = 10°

α = 10° + 160° =170°

β = 170° - 10° = 10°


3. Napiši sve četvorocifrene brojeve za koje važi:

a) 2∣340∗;  b) 9∣72∗9;  c) 4∣50∗6.


a) 3400, 3402, 3404, 3406, 3408; (svi parni brojevi su deljivi sa 2)

b) 7209, 7299 (samo u ova dva slucaja je zbir cifara broja deljiv sa 9)

c) 5016, 5036, 5056, 5076, 5096 (zadnje dve cifre moraju biti deljive sa 4)


4. Odredi :

a) S(10, 35);    b) S(33, 55, 66);    c) D(34,51);     d) D(28, 42, 56).

a)

10  35 | 2
  5  35 | 5
    1  7 | 7
    1  1

S (10, 35) = 2 · 5 · 7 = 70

b)

33  55  66 | 2
33  55  33 | 3
11  55  11 | 5
11  11  11 | 11
   1   1    1

S (33, 55, 66) = 2 · 3 · 5 · 11 = 330

c)

34  51 | 17
  2    3

D (34, 51) = 17

d)

28  42  56 | 2
14  21  28 | 7
 2     3    4

D (28, 42, 56) = 2·7 = 14


5. Kolaž papir je pravougaonog oblika i dimenzija 210mm×135mm. Ružica treba da ga iseče na što je moguće veće jednake kvadratiće.

a) Kolika je površina jednog kvadratića?

b) Koliko je kvadratića isekla Ružica?

a)

135  210  | 3
  45    70  | 5
    9    14

NZD (135, 210) = 15.

Stranica kvadratića je 15mm. Površina je tada 15·15=225mm2.


b) Po širini je mogla da napravi 9, a po dužini 14 rezova. Ukupan broj kvadratića je 9·14=126.

Нема коментара:

Постави коментар