1A. Rastavi broj 196 na proste činioce.
196 2
98 2
49 7
7 7
1
196 = 2 x 2 x 7 x 7
1B. Rastavi broj 250 na proste činioce.
250 2
125 5
25 5
2A. Odredi nepoznatu cifru X tako da je petocifreni broj 1301x deljiv sa:
a) 5;
b) 3.
Izračunaj zbir svih tako određenih petocifrenih brojeva.
a) Sa brojem 5 su deljivi svi brojevi koji se završavaju na 0 ili 5. To znači da X može biti 13010 i 13015
X∊{0, 5}.
Brojei su 13010 i 13015.
Njihov zbir je 13010 + 13015 = 26025
b) Sa brojem 3 su deljivi svi brojevi čiji je zbir cifara deljiv sa 3. Zbir za sada poznatih cifara u našem broju je 5 (1+3+0+1), a to znači da tražene cifre moraju biti 1, 4 i 7
X∊{1, 4, 7}
Brojevi su 13011, 13014 i 13017.
Njihov zbir je: 13011+13014+13017=39042
2B. Odredi nepoznatu cifru x tako da je petocifreni broj 1007x deljiv sa:
a) 2;
b) 9.
Izračunaj zbir svih tako određenih petocifrenih brojeva.
a) Sa brojem 2 su deljivi svi parni brojevi, to znači da tražena cifra može biti 0, 2, 4, 6 i 8.
X∊{0, 2, 4, 6, 8}
Brojevi su: 10070,10072,10074,10076,10078.
Zbir: 10070+10072+10074+10076+10078=50370
b) Sa 9 su deljivi svi brojevi čiji je zbir cifara deljiv sa 9. Za sada je zbir poznatih cifara 8 (1+0+0+7), a to znači da tražena cifra može biti samo broj 1
X∊{1}
Broj je: 10071.
Zbir je 10071.
3A. Odredi najmanji zajednički sadržalac brojeva 3⋅14+6, 36, 3⋅3⋅2⋅5
3 ⋅ 14 + 6 = 42 + 6 = 48
3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 9 ⋅ 10 = 90
NZS (48, 36, 90) = ?
48 36 90 2
24 18 45 2
12 9 45 2
6 9 45 2
3 9 45 3
1 3 15 3
1 1 5 5
1 1 1
NZS (48, 36, 90) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 4 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ 5 = 36 ⋅ 20 = 720
NZS (48, 36, 90) = 720
3B. Odredi najmanji zajednički sadržalac brojeva 48, 2⋅2⋅2⋅7, 2⋅24−14
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 8 ⋅ 7 = 56
2 ⋅ 24 − 14 = 48 - 14 = 34
NZS (48, 56, 34} = ?
48 56 34 2
24 28 17 2
12 14 17 2
6 7 17 2
3 7 17 3
1 7 17 7
1 1 17 17
1 1 1
NZS (48, 56, 34) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 17 = 16 ⋅ 3 ⋅ 119 = 48 ⋅ 119 = 5712
NZS (48, 56, 34) = 5712
4A. Tri štapa dužina 48cm,60cm,90cm treba iseći na komade jednakih dužina tako da budu maksimalne moguće dužine. Koliko takvih komada možeš dobiti?
Pošto štapove moramo da delimo potreban nam je NZD
48 60 90 2
24 30 45 3
8 10 15
NZD (48, 60, 90) = 2 ⋅ 3 = 6
Dužina štapova treba da bude 6cm.
Može se dobiti: 48 : 6 + 60 : 6 + 90 : 6 = 8 + 10 + 15 = 33 komada
4B. Jelena, Marija i Biljana često idu u školsku biblioteku. Jelena ide svakih 4 dana, Marija svakih 6 dana, Biljana svakih 8 dana. Kog datuma u septembru će sve tri ponovo zajedno posetiti biblioteku ako se zna da su to učinile 2. septembra?
Pošto nam se ovde traži sledeći datum, odnosno datum koji će u biblioteci "sadržati" sve tri devojke - potreban nam je NZS
4 6 8 2
2 3 4 2
1 3 2 2
1 3 1 3
1 1 1
NZS (4, 6, 8) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 4 ⋅ 6 = 24
Ovo znači da će se sresti za 24 dana, a pošto se u zadatku traži datum, to znači:
24 + 2 = 26 (2 sabiramo zato što su se srele 2, septembra)
Srešće se 26. septembra
5A. Broj 51 napiši u obliku zbira dva broja tako da kada se veći broj podeli manjim bude količnik 5 i ostatak 3.
Malo komplikovanije, pa idemo redom
51 napiši u obliku zbira dva broja
A + B = 51
tako da kada se veći broj podeli manjim bude količnik 5 i ostatak 3
A ; B = 5 (3)
primenjujući jednakost deljivosti gornji izraz možemo zapisati i ovako:
A = 5 ⋅ B + 3
* da pojednostavimo kroz primer koji nema veze sa zadatkom: ako je 23 : 4 = 5 (3) onda je i
23 = 4 ⋅ 5 + 3
vraćcamo se na zadatak... Pošto smo našli način kako da drugačije izrazimo A vraćamo se na prvi izraz
A + B = 51
sada A menjamo sa izrazom koji smo dobili 5B + 3
5 ⋅ B + 3 + B = 51
6 ⋅ B + 3 = 51
6 ⋅ B = 51 - 3
6 ⋅ B = 48
B = 48 : 6
B = 8
preostaje nam još da izračunamo A
A + 8 = 51
A = 51 - 8
A = 43
5B. Broj 82 napiši u obliku zbira dva broja tako da kada se veći broj podeli manjim bude količnik 3 i ostatak 2.
prvi deo
X + Y = 82
drugi deo
X: Y = 3(2)
X = 3 ⋅ Y + 2
deo kad X menjamo dobijenim izrazom
3 ⋅ Y + 2 + Y = 82
4 ⋅ Y + 2 = 82
4 ⋅ Y = 82 - 2
4 ⋅ Y = 80
Y = 80 : 4
Y = 20
saznajemo koliko je X
X + 20 = 82
X = 82 - 20
X = 62
Zadaci mogu biti i ovakvi:
1A. Koliki je količnik q i ostatak r pri deljenju broja 215 sa brojem 11?
215:11 = 19 (6)
-11
----
105
- 99
-----
6
q = 19;
r = 6;
Važi jednakost: 215 = 19 ⋅ 11 + 6
1B. Odredi vrednost cifre X tako da broj 40X2 bude deljiv sa brojem 4.
Ovde samo X menjaš sa ciframa od 0 do 9 i proveravaš da li su zadnje dve cifre (X2) deljive sa 4. Ne zaboravi da je 0 deljiva sa svakim brojem zato uvek proveri - u ovom slučaju 4002 nije deljivo sa 4
X∊{1, 3, 5, 7, 9}
1C. Napiši najmanji četvorocifreni broj deljiv brojem 9.
Znamo da je najmanji četvorocifreni broj 1000, ali on nije deljiv sa 9 jer je zbir njegovih cifara 1 (1+0+0+0). Nama je potreban zbir 9 i zato dodajemo broj 8 na mesto jedinica, jer se traži najmanji četvorocifreni broj
Odgovor: To je broj 1008
1D. Odredi vrednost cifre X tako da broj 27X5 bude deljiv sa brojem 3.
Za sada je zbir cifara 14 (2+7+5) što znači da 0 ne može biti u skupu traženih cifara, pa nastavljamo dalje do 9
X∊{1, 4, 7}
1E. Napiši najveći četvorocifreni broj deljiv brojem 4.
Najveći četvorocifreni broj je 9999, ali njegove zadnje dve cifre 99 nisu deljive sa 4. To znači da tražimo najveći dvocifreni broj deljiv sa 4, a to je 96
Odgovor: To je broj 9996
1F. Koliki je količnik q i ostatak rpri deljenju broja 112 sa 12?
112 : 12 = 9 (4)
- 108
-------
004
q = 9;
r = 4;
Važi jednakost: 112 = 9 ⋅ 12 + 4
2A. Odredi najveći zajednički delilac brojeva 1700 i 1190.
1700 1190 2
850 595 5
170 119 17
10 7
NZD (1700, 1190) = 2 ⋅ 5 ⋅ 17 = 10 ⋅ 17 = 170
NZD (1700, 1190) = 170
2B. Odredi najmanji zajednički sadržalac brojeva 2300 i 1610
2300 1610 2
1150 805 2
575 805 5
115 161 5
23 161 7
23 23 23
1 1
NZS (2300, 1610) = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 23 = 10 ⋅ 10 ⋅ 161 = 100 ⋅ 161 = 16100
NZD (2300, 1610) = 16100
2C. Odredi :
a) S(10, 35); b) S(33, 55, 66);
c) D(34,51); d) D(28, 42, 56).
a)
10 35 2
5 35 5
1 7 7
1 1
S (10, 35) = 2·5·7 = 70
b)
33 55 66 2
33 55 33 3
11 55 11 5
11 11 11 11
1 1 1
S (33, 55, 66) = 2 · 3 · 5 · 11 =10 · 33 = 330
c)
34 51 17
2 3
D (34, 51) = 17
d)
28 42 56 2
14 21 28 7
2 3 4
D (28, 42, 56) = 2 · 7 = 14
2D, Odredi NZS i NZD za brojeve 32, 56.
NZD:
32 56 2
16 28 2
8 14 2
4 7
NZD (32, 56) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
NZS:
32 56 2
16 28 2
8 14 2
4 7 2
2 7 2
1 7 7
1 1
NZS (32, 56) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 224
NZS (32, 56) = 224
3A. Od brojeva 12, 32, 42 koja dva broja imaju:
a) najveći zajednički delilac broj 4;
b) najmanji zajednički sadržalac broj 84?
a) najveći zajednički delilac broj 4;
Ovo se najlakše radi tako što se odrede skupovi delilaca za sva tri broja
D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D₃₂ = {1, 2 , 4, 8, 16, 32}
D₄₂ = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
Iz navedenih skupova se da je broj 4 zajednički delilac za brojeve 12 i 32
NZD (12, 32) = 4.
Do ovog rešenja smo mogli da dodjemo i malo težim putem, tražeći NZD za svaku kombinaciju brojeva (12 i 32; 12 i 42; 32 i 42):
12 32 2
6 16 2
3 8
NZD (12, 32) = 2 ⋅ 2 = 4
12 42 2
6 21
NZD (12, 42) = 2
32 42 2
16 21
NZD (32, 42) = 2
Došli smo do istog rezultata:
NZD (12, 32) = 4.
b) najmanji zajednički sadržalac broj 84?
Pušto tražimo NZS u skupove unosimo traženi broj, a svaki sledeći uvećavamo ya taj broj koji smo upisali (npr. 12, sledeći je 12+12 tj 24, sledeći 24+12 tj 36, ...)
S₁₂ ={12, 24, 36, 48, 60, 72, 84,...}
S₃₂ ={32, 64, 96, ...} (čim predjemo traženi broj, ovde je to 84, možemo da prekinemo unos brojeva)
S₄₂ ={42, 84, ...}
Iz navedenih skupova vidi se da je
NZS (12, 42) = 84
3B. Od brojeva 16, 20, 32 koja dva broja imaju:
a) najveći zajednički delilac broj 8;
b) najmanji zajednički sadržalac broj 80?
a) najveći zajednički delilac broj 8:
D16 = {1, 2, 4, 8, 16}
D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
D₃₂ ={1, 2, 4, 8, 16, 32}
Iz navedenih skupova se vidi da je 8 jedini zajednički delilac brojeva 16 i 32, ali nije najveći. (NZD za ova dva broja je 16).
Odgovor: Ni za jedan par brojeva broj 8 nije Najveći Zajednički Delilac (NZD).
b) najmanji zajednički sadržalac broj 80:
S16 = {16, 32, 48, 64, 80, ...}
S20 = {20, 40, 60, 80, ...}
S₃₂ = {32, 64, 96, ...}
Iz navedenih skupova se vidi da je 80 Najmanji Zajednički Sadržalac brojeva 16 i 20.
NZS (16, 20) = 80
3C. Napiši sve četvorocifrene brojeve za koje važi:
a) 2∣340∗; b) 9∣72∗9; c) 4∣50∗6.
a) 3400, 3402, 3404, 3406, 3408
b) 7209, 7299
c) 5016, 5036, 5056, 5076, 5096
3D. Napiši sve četvorocifrene brojeve za koje važi:
a) 2∣509∗; b) 9∣1∗43; c) 4∣81∗8.
a) 5090, 5092, 5094, 5096, 5098;
b) 1143;
c) 8108, 8128, 8148, 8168, 8188.
4. Kolaž papir je pravougaonog oblika i dimenzija 210mm×135mm. Ružica treba da ga iseče na što je moguće veće jednake kvadratiće.
a) Kolika je površina jednog kvadratića?
b) Koliko je kvadratića isekla Ružica?
Pošto moramo da odredimo koliko kvadrata možemo da dobijemo od paira, potreban nam je NZD
a)
Odredjivanjem NZD broja odredjujemo i dužinu stranice kvadrata
210 135 3
70 45 5
14 9
NZD (210, 135) = 3 ⋅ 5 = 15
Pošto znamo stranicu kvadrata 15mm preostaje nam da odredimo njegovu površinu
P = 15 ⋅ 15
P = 225mm²
b)
Po dužini je mogla da napravi 210 : 15 = 14 rezova, a po širini 135 : 15 = 9 rezova. To znači da je ukupan broj kvadratića 14 ⋅ 9 = 126
5A. Na stanicu A stigli su istovremeno u 12:00 časova, tramvaj i autobus. Tramvaj prođe kroz tu stanicu u razmacima na svakih 1 sat i 30 minuta a autobus na 2 sata. U koliko časova će se ponovo naći na stanici A, istovremeno i tramvaj i autobus?
Ovde nam se traži "sadržalac" vremena u kojem će se opet sresti vozila, tj. potraban nam je NZS
1 sat i 30 minuta = 90 minuta
2 sata = 120 minuta
90 120 2
45 60 2
45 30 2
45 15 3
15 5 3
5 5 5
1 1
NZS (90, 120) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 8 ⋅ 9 ⋅ 5 = 40 ⋅ 9 = 360
NZS (90, 120) = 360
Vozila će se ponovo sresti za 360 minuta, odnosno za 6 sati.
Odgovor: U 18:00 časova
5B. Učiteljica želi da svakom učeniku pokloni jednak broj čokoladnih i jednak broj žele bombona. Za to joj je potrebno 42 čokoladne i 28 žele bombona. Koliko učenika ima u odeljenju? Koliko je čokoladnih a koliko žele bombona dobio svaki učenik?
Pošto želi da podeli slatkiše potreban nam je NZD
42 28 2
21 14 7
3 2
NZD (42, 28) = 2 ⋅ 7 = 14
U odeljenju ima 14 učenika.
Svaki učenik je dobio 42 : 14 = 3 čokolodane i 28 : 14 = 2 žele bombone.
196 2
98 2
49 7
7 7
1
196 = 2 x 2 x 7 x 7
1B. Rastavi broj 250 na proste činioce.
250 2
125 5
25 5
5 5
1
250 = 2 x 5 x 5 x 5
1
250 = 2 x 5 x 5 x 5
2A. Odredi nepoznatu cifru X tako da je petocifreni broj 1301x deljiv sa:
a) 5;
b) 3.
Izračunaj zbir svih tako određenih petocifrenih brojeva.
a) Sa brojem 5 su deljivi svi brojevi koji se završavaju na 0 ili 5. To znači da X može biti 13010 i 13015
X∊{0, 5}.
Brojei su 13010 i 13015.
Njihov zbir je 13010 + 13015 = 26025
b) Sa brojem 3 su deljivi svi brojevi čiji je zbir cifara deljiv sa 3. Zbir za sada poznatih cifara u našem broju je 5 (1+3+0+1), a to znači da tražene cifre moraju biti 1, 4 i 7
X∊{1, 4, 7}
Brojevi su 13011, 13014 i 13017.
Njihov zbir je: 13011+13014+13017=39042
2B. Odredi nepoznatu cifru x tako da je petocifreni broj 1007x deljiv sa:
a) 2;
b) 9.
Izračunaj zbir svih tako određenih petocifrenih brojeva.
a) Sa brojem 2 su deljivi svi parni brojevi, to znači da tražena cifra može biti 0, 2, 4, 6 i 8.
X∊{0, 2, 4, 6, 8}
Brojevi su: 10070,10072,10074,10076,10078.
Zbir: 10070+10072+10074+10076+10078=50370
b) Sa 9 su deljivi svi brojevi čiji je zbir cifara deljiv sa 9. Za sada je zbir poznatih cifara 8 (1+0+0+7), a to znači da tražena cifra može biti samo broj 1
X∊{1}
Broj je: 10071.
Zbir je 10071.
3 ⋅ 14 + 6 = 42 + 6 = 48
3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 9 ⋅ 10 = 90
NZS (48, 36, 90) = ?
48 36 90 2
24 18 45 2
12 9 45 2
6 9 45 2
3 9 45 3
1 3 15 3
1 1 5 5
1 1 1
NZS (48, 36, 90) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 4 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ 5 = 36 ⋅ 20 = 720
NZS (48, 36, 90) = 720
3B. Odredi najmanji zajednički sadržalac brojeva 48, 2⋅2⋅2⋅7, 2⋅24−14
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 8 ⋅ 7 = 56
2 ⋅ 24 − 14 = 48 - 14 = 34
NZS (48, 56, 34} = ?
48 56 34 2
24 28 17 2
12 14 17 2
6 7 17 2
3 7 17 3
1 7 17 7
1 1 17 17
1 1 1
NZS (48, 56, 34) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 17 = 16 ⋅ 3 ⋅ 119 = 48 ⋅ 119 = 5712
NZS (48, 56, 34) = 5712
4A. Tri štapa dužina 48cm,60cm,90cm treba iseći na komade jednakih dužina tako da budu maksimalne moguće dužine. Koliko takvih komada možeš dobiti?
Pošto štapove moramo da delimo potreban nam je NZD
48 60 90 2
24 30 45 3
8 10 15
NZD (48, 60, 90) = 2 ⋅ 3 = 6
Dužina štapova treba da bude 6cm.
Može se dobiti: 48 : 6 + 60 : 6 + 90 : 6 = 8 + 10 + 15 = 33 komada
4B. Jelena, Marija i Biljana često idu u školsku biblioteku. Jelena ide svakih 4 dana, Marija svakih 6 dana, Biljana svakih 8 dana. Kog datuma u septembru će sve tri ponovo zajedno posetiti biblioteku ako se zna da su to učinile 2. septembra?
Pošto nam se ovde traži sledeći datum, odnosno datum koji će u biblioteci "sadržati" sve tri devojke - potreban nam je NZS
4 6 8 2
2 3 4 2
1 3 2 2
1 3 1 3
1 1 1
NZS (4, 6, 8) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 4 ⋅ 6 = 24
Ovo znači da će se sresti za 24 dana, a pošto se u zadatku traži datum, to znači:
24 + 2 = 26 (2 sabiramo zato što su se srele 2, septembra)
Srešće se 26. septembra
5A. Broj 51 napiši u obliku zbira dva broja tako da kada se veći broj podeli manjim bude količnik 5 i ostatak 3.
Malo komplikovanije, pa idemo redom
51 napiši u obliku zbira dva broja
A + B = 51
tako da kada se veći broj podeli manjim bude količnik 5 i ostatak 3
A ; B = 5 (3)
primenjujući jednakost deljivosti gornji izraz možemo zapisati i ovako:
A = 5 ⋅ B + 3
* da pojednostavimo kroz primer koji nema veze sa zadatkom: ako je 23 : 4 = 5 (3) onda je i
23 = 4 ⋅ 5 + 3
vraćcamo se na zadatak... Pošto smo našli način kako da drugačije izrazimo A vraćamo se na prvi izraz
A + B = 51
sada A menjamo sa izrazom koji smo dobili 5B + 3
5 ⋅ B + 3 + B = 51
6 ⋅ B + 3 = 51
6 ⋅ B = 51 - 3
6 ⋅ B = 48
B = 48 : 6
B = 8
preostaje nam još da izračunamo A
A + 8 = 51
A = 51 - 8
A = 43
prvi deo
X + Y = 82
drugi deo
X: Y = 3(2)
X = 3 ⋅ Y + 2
deo kad X menjamo dobijenim izrazom
3 ⋅ Y + 2 + Y = 82
4 ⋅ Y + 2 = 82
4 ⋅ Y = 82 - 2
4 ⋅ Y = 80
Y = 80 : 4
Y = 20
saznajemo koliko je X
X + 20 = 82
X = 82 - 20
X = 62
1A. Koliki je količnik q i ostatak r pri deljenju broja 215 sa brojem 11?
215:11 = 19 (6)
-11
----
105
- 99
-----
6
q = 19;
r = 6;
Važi jednakost: 215 = 19 ⋅ 11 + 6
1B. Odredi vrednost cifre X tako da broj 40X2 bude deljiv sa brojem 4.
Ovde samo X menjaš sa ciframa od 0 do 9 i proveravaš da li su zadnje dve cifre (X2) deljive sa 4. Ne zaboravi da je 0 deljiva sa svakim brojem zato uvek proveri - u ovom slučaju 4002 nije deljivo sa 4
X∊{1, 3, 5, 7, 9}
1C. Napiši najmanji četvorocifreni broj deljiv brojem 9.
Znamo da je najmanji četvorocifreni broj 1000, ali on nije deljiv sa 9 jer je zbir njegovih cifara 1 (1+0+0+0). Nama je potreban zbir 9 i zato dodajemo broj 8 na mesto jedinica, jer se traži najmanji četvorocifreni broj
Odgovor: To je broj 1008
1D. Odredi vrednost cifre X tako da broj 27X5 bude deljiv sa brojem 3.
Za sada je zbir cifara 14 (2+7+5) što znači da 0 ne može biti u skupu traženih cifara, pa nastavljamo dalje do 9
X∊{1, 4, 7}
1E. Napiši najveći četvorocifreni broj deljiv brojem 4.
Najveći četvorocifreni broj je 9999, ali njegove zadnje dve cifre 99 nisu deljive sa 4. To znači da tražimo najveći dvocifreni broj deljiv sa 4, a to je 96
Odgovor: To je broj 9996
1F. Koliki je količnik q i ostatak rpri deljenju broja 112 sa 12?
112 : 12 = 9 (4)
- 108
-------
004
q = 9;
r = 4;
Važi jednakost: 112 = 9 ⋅ 12 + 4
2A. Odredi najveći zajednički delilac brojeva 1700 i 1190.
850 595 5
170 119 17
10 7
NZD (1700, 1190) = 2 ⋅ 5 ⋅ 17 = 10 ⋅ 17 = 170
NZD (1700, 1190) = 170
2B. Odredi najmanji zajednički sadržalac brojeva 2300 i 1610
2300 1610 2
1150 805 2
575 805 5
115 161 5
23 161 7
23 23 23
1 1
NZS (2300, 1610) = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 23 = 10 ⋅ 10 ⋅ 161 = 100 ⋅ 161 = 16100
NZD (2300, 1610) = 16100
a) S(10, 35); b) S(33, 55, 66);
c) D(34,51); d) D(28, 42, 56).
a)
10 35 2
5 35 5
1 7 7
1 1
S (10, 35) = 2·5·7 = 70
b)
33 55 66 2
33 55 33 3
11 55 11 5
11 11 11 11
1 1 1
S (33, 55, 66) = 2 · 3 · 5 · 11 =10 · 33 = 330
c)
34 51 17
2 3
D (34, 51) = 17
d)
28 42 56 2
14 21 28 7
2 3 4
D (28, 42, 56) = 2 · 7 = 14
2D, Odredi NZS i NZD za brojeve 32, 56.
NZD:
32 56 2
16 28 2
8 14 2
4 7
NZD (32, 56) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
NZS:
32 56 2
16 28 2
8 14 2
4 7 2
2 7 2
1 7 7
1 1
NZS (32, 56) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 224
NZS (32, 56) = 224
3A. Od brojeva 12, 32, 42 koja dva broja imaju:
a) najveći zajednički delilac broj 4;
b) najmanji zajednički sadržalac broj 84?
a) najveći zajednički delilac broj 4;
Ovo se najlakše radi tako što se odrede skupovi delilaca za sva tri broja
D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D₃₂ = {1, 2 , 4, 8, 16, 32}
D₄₂ = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
Iz navedenih skupova se da je broj 4 zajednički delilac za brojeve 12 i 32
NZD (12, 32) = 4.
Do ovog rešenja smo mogli da dodjemo i malo težim putem, tražeći NZD za svaku kombinaciju brojeva (12 i 32; 12 i 42; 32 i 42):
12 32 2
6 16 2
3 8
NZD (12, 32) = 2 ⋅ 2 = 4
12 42 2
6 21
NZD (12, 42) = 2
32 42 2
16 21
NZD (32, 42) = 2
Došli smo do istog rezultata:
NZD (12, 32) = 4.
Pušto tražimo NZS u skupove unosimo traženi broj, a svaki sledeći uvećavamo ya taj broj koji smo upisali (npr. 12, sledeći je 12+12 tj 24, sledeći 24+12 tj 36, ...)
S₁₂ ={12, 24, 36, 48, 60, 72, 84,...}
S₃₂ ={32, 64, 96, ...} (čim predjemo traženi broj, ovde je to 84, možemo da prekinemo unos brojeva)
S₄₂ ={42, 84, ...}
Iz navedenih skupova vidi se da je
NZS (12, 42) = 84
3B. Od brojeva 16, 20, 32 koja dva broja imaju:
a) najveći zajednički delilac broj 8;
b) najmanji zajednički sadržalac broj 80?
a) najveći zajednički delilac broj 8:
D16 = {1, 2, 4, 8, 16}
D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
D₃₂ ={1, 2, 4, 8, 16, 32}
Iz navedenih skupova se vidi da je 8 jedini zajednički delilac brojeva 16 i 32, ali nije najveći. (NZD za ova dva broja je 16).
Odgovor: Ni za jedan par brojeva broj 8 nije Najveći Zajednički Delilac (NZD).
b) najmanji zajednički sadržalac broj 80:
S16 = {16, 32, 48, 64, 80, ...}
S20 = {20, 40, 60, 80, ...}
S₃₂ = {32, 64, 96, ...}
Iz navedenih skupova se vidi da je 80 Najmanji Zajednički Sadržalac brojeva 16 i 20.
NZS (16, 20) = 80
3C. Napiši sve četvorocifrene brojeve za koje važi:
a) 2∣340∗; b) 9∣72∗9; c) 4∣50∗6.
a) 3400, 3402, 3404, 3406, 3408
b) 7209, 7299
c) 5016, 5036, 5056, 5076, 5096
3D. Napiši sve četvorocifrene brojeve za koje važi:
a) 2∣509∗; b) 9∣1∗43; c) 4∣81∗8.
a) 5090, 5092, 5094, 5096, 5098;
b) 1143;
c) 8108, 8128, 8148, 8168, 8188.
4. Kolaž papir je pravougaonog oblika i dimenzija 210mm×135mm. Ružica treba da ga iseče na što je moguće veće jednake kvadratiće.
a) Kolika je površina jednog kvadratića?
b) Koliko je kvadratića isekla Ružica?
Pošto moramo da odredimo koliko kvadrata možemo da dobijemo od paira, potreban nam je NZD
a)
Odredjivanjem NZD broja odredjujemo i dužinu stranice kvadrata
210 135 3
70 45 5
14 9
NZD (210, 135) = 3 ⋅ 5 = 15
Pošto znamo stranicu kvadrata 15mm preostaje nam da odredimo njegovu površinu
P = 15 ⋅ 15
P = 225mm²
b)
Po dužini je mogla da napravi 210 : 15 = 14 rezova, a po širini 135 : 15 = 9 rezova. To znači da je ukupan broj kvadratića 14 ⋅ 9 = 126
5A. Na stanicu A stigli su istovremeno u 12:00 časova, tramvaj i autobus. Tramvaj prođe kroz tu stanicu u razmacima na svakih 1 sat i 30 minuta a autobus na 2 sata. U koliko časova će se ponovo naći na stanici A, istovremeno i tramvaj i autobus?
Ovde nam se traži "sadržalac" vremena u kojem će se opet sresti vozila, tj. potraban nam je NZS
1 sat i 30 minuta = 90 minuta
2 sata = 120 minuta
90 120 2
45 60 2
45 30 2
45 15 3
15 5 3
5 5 5
1 1
NZS (90, 120) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 8 ⋅ 9 ⋅ 5 = 40 ⋅ 9 = 360
NZS (90, 120) = 360
Vozila će se ponovo sresti za 360 minuta, odnosno za 6 sati.
Odgovor: U 18:00 časova
5B. Učiteljica želi da svakom učeniku pokloni jednak broj čokoladnih i jednak broj žele bombona. Za to joj je potrebno 42 čokoladne i 28 žele bombona. Koliko učenika ima u odeljenju? Koliko je čokoladnih a koliko žele bombona dobio svaki učenik?
Pošto želi da podeli slatkiše potreban nam je NZD
42 28 2
21 14 7
3 2
NZD (42, 28) = 2 ⋅ 7 = 14
U odeljenju ima 14 učenika.
Svaki učenik je dobio 42 : 14 = 3 čokolodane i 28 : 14 = 2 žele bombone.
svaka cast najboli ste
ОдговориИзбришиda slazem se🐢
ОдговориИзбриши