Matematika za Petake - Geometrijski Objekti

Tacka, Prava i Ravan su osnovni geometrijski objekti.

Tacka se uvek obelezava velikim slovom latinice: A, B, C ...

Prava se uvek obelezava malim slovom latinice: a, b, c ...

Ravan se uvek obelezava malim slovima grckog alfabeta: α, β, γ ...

Kolinearne tacke: Tri ili vise tacaka koje se nalaze na istoj pravoj.

Nekolinearne tacke: Tri ili vise tacaka koje se ne nalaze na istoj pravoj

primer: 

Broj pravih koji se moze nacrtati kroz:

jednu tacku: beskonacno

dve tacke: jedna

tri tacke: jedna (ako su kolinearne); tri (ako su nekolnearne)

cetiri tacke: jedna (ako su sve kolinearne); cetiri (ako su tri kolinearne); sest (ako su nekolinearne)

Paralelne prave ( ∥ ): Kada dve prave nemaju zajednicku tacku one su paralelne.

Na gornjoj slici mozemo odrediti sledece:

a ⊂ α; b ⊂ α; c ⊥ α - Prave koje se nalaze u ravni cine podskup te ravni (a i b). Za pravu koja stoji uspravno u odnosu na ravan kazemo da je normalna u odnosu na nju (c).

E ∈ α; G ∈ α;; D ∉ α - Tacke koje se nalaze u ravni jesu elemnti te ravni (E, F, G, H). Tacke van ravni nisu njeni elementi (D).

E ∈ a; H ∈ b; H ∈ c; D ∉ a -Tacke koje se nalaze na odredjenoj pravoj jesu elementi te prave. Za sve druge tacke kazemo da nisu njeni elementi

a ∥ b; c ⊥ b - Prave a i b se nigde ne seku i one su paralelne. Prava c lezi uspravno u odnosu na pravu b tj. normalna je u odnosu na tu pravu.

Posto nijedna prava na slici nema tri ili vise zajednickih tacaka, mozemo reci da su tacke nekolinearne.

-----------------------

Poluprava, Poluravan, Duz

Poluprava se obelezava velikim slovom (pocetna tacka) i malim slovom (poluprava koja polazi iz te tacke); Ab, Cd ...

Poluravan je odrdjena pravom (ukljucujuci i tu pravu) i delom ravni. Zato se obelezava sa malim slovom (prava) i slovom grckog afabeta (ravan); bα, dβ ...

Duz se obelezava sa dva velika slova (tacke koje odredjuju tu duz): AB, CD ...

U ravni fβ odredi sledece:

FD ∩ DG = {D} - Odredjujemo sta je zajednicko za ove dve duzi (FD i DG), a to je tacka D

CD ∪ DE = CE - Uniju dve duzi (CD i DE) cini nova duz (CE)

(FD ∪ DG ) ∩ (CD ∪ DE) = FG ∩ CE = {D} - Najpre odredjujemo sta je u zagradama, a potom njihov presek

* Kada u preseku nema zajednickih elemenata onda se to obelezava kao prazan skup (∅).

Prava podeljena tackom daje dve poluprave koje se obicno obelezavaju istim slovom. Jedna malim slovom (b), a druga uz slovo ima dodatak prim (b'): Ab, Ab', Bd, Bd' ...

Konstruisanje duzi se uvek radi sestarom tako sto se jedna po jedna (manja) duz prenosi na pravu koja se nacrta pre uzimanja sestara u ruke.

-----------------------

Izlomljena linija

Zatvorena izlomljena linija mora da se zavrsi u tacki u kojoj je i pocela (npr. izlomljena linija sa tackama A, B, C i D mora biti zapisana kao ABCDA tj spajamo tacke A i B, pa B i C, pa C i D i na kraju D i A).

Drugim recima, ako je pocetak prve duzi ujedno i kraj zadnje duzi to je zatvorena izlomljena (kriva) linija.

Ono sto se nalazi unutar zatvorene krive linije naziva se unutrasnja oblast, sve drugo je spoljna oblast.

* U zadacima, tacke se u zatvorenu krivu liniju mogu postavljati u unutrasnju oblast, spoljnu oblast ili na samoj liniji (tacke koje pripadaju liniji).

-----------------------

Mnogougao

Mnogougao je zatvorena kriva linija u kojoj nema tacki presecanja, a dobija se spajanjem susednih tacaka.

Mnogougao moze biti koveksna ili nekonveksna figura.

Konveksne figure su one kod kojih se spajanjem bilo koje dve tacke unutar figure (kreiranjem duzi) ne napusta unutrasnjost figure.

Nekonveksne figure su one kod kojih se spajanjem bilo koje dve tacke unutar figure (kreiranjem duzi) napusta unutrasnjost figure.

-----------------------

Kruznica i Krug

Kruznica je linija. Krug je oblast koju cine kruznica i unutrasnji deo

Kruznica se obelezava malim slovom latinice. Krug velikim slovom latinice.

Kruznica se belezi na sledeci nacin:

kruznica(centar kruznice, poluprecnik) ili skraceno  k(c, r)

Kruznica i prava

Kruznica i prava se mogu naci u tri polozaja:

a) p ∩ k = ∅

b) p ∩ k = {A} (prava p se naziva tangenta)

c) p ∩ k = {A, B}

Tangenta je prava koja dodiruje kruznicu u jednoj tacki.

Poluprecnik je uvek normalan na tangentu.

* Jedini nacin da se na kruznici nacrtaju dve paralelne prave je da se njihove tacke nalaze na suprotnim stranama kruznice (sto znaci da se prvo mora nacrtati precnik kruznice kako bi se odredile te dve tacke)

Medjusobni polozaj kruznice i krugova

Svi polozaji u kojima se mogu naci dve kruznice:

a) Rastojanje izmedju centara je vece od zbira poluprecnika AB > r1 + r2;  

k1 ∩ k2 = ∅; K1 ∩ K2 = ∅;

b) Rastojanje izmedju centara je jednako zbiru poluprecnika AB = r1 + r2;

k1 ∩ k2 = {C}; K1 ∩ K2 = {C};

c) Rastojanje izmedju centara je manje od zbira poluprecnika AB < r1 + r2;

primer 1 k1 ∩ k2 = {C, D}; K1 ∩ K2 = cela oblast gde se seku krugovi;

primer 2 k1 ∩ k2 = {F}; K1 ∩ K2 = K2(B, r2) ceo manji krug;

primer 3 k1 ∩ k2 = ∅; K1 ∩ K2 = K2(B, r2) ceo manji krug;

* k je kruznica; K je krug

Matematika za Petake - Izrazi

Sredjivanje izraza ide ovim redom:

- Zagrada u zagradi
- Zagrada
- Mnozenje i deljenje
- Sabiranje i oduzimanje

(10 + (15 - 7) : 2) x 4 - 20 = (10 + 8 : 2) x 4 - 20 = (10 + 4) x 4 - 20 = 14 x 4 - 20 = 56 - 20 = 36

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

U jednacinama, kada broj prelazi sa leve na desnu stranu, samo u dva slucaja se ne menja znak:

// broj minus nepoznata
20 - x = 5
x = 20 - 5
x = 15

// broj podeljeno sa nepoznatom
33 : y = 11
y = 33 : 11
y = 3

U svim drugim slucajevima plus prelazi u minus i obratno. Kao sto i puta prelazi u podeljeno i obratno.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Prethodnik, Broj, Sledbenik primeri:

Prethodnik: 7
Broj: 8
Sledbenik: 9

Prethodnik: x - 1
Broj: x
Sledbenik: x + 1

Prethodnik: 5 + y - 2
Broj: 5 + y - 3
Sledbenik: 5 + y - 1

Zadatak:

Cole i Lola imaju zajedno 400 pesama u telefonu. Cole ima 20 pesama vise od Lole. Odredi ko koliko pesam ima.

* malo x je puta, veliko X je nepoznata

// prvo postavimo jednacinu, a zatim se oslobadjamo zagrade
X + (X + 20) = 400
X + X + 20 = 400
2 x X + 20 = 400

// odeadjujemo nepoznati sabirak
2 x X = 400 - 20
2 x X = 380
X = 380 : 2
X = 190

// Sada znamo koliko Lola ima pesama, potrebno je da odredimo koliko ima Cole
X + 20 tj. 190 + 20 = 210

Cole: 210 pesama
Lola: 190 pesama

// ako je potrebna provera
210 + 190 = 400

Matematika za Petake - Skupovi

B = {1, 3, 5}

Naziv skupa se uvek pise velikim slovom latinice (A, B ...)

∈ - element skupa (1 ∈ B)

∉ - nije element skupa (2 ∉ B)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A = {X | X ∈ N i X < 10} - element X (X) pripada (|) skupu prirodnih brojeva (X ∈ N) koji su manji od 10 (X < 10)

* N je oznaka za prrodne brojeve (1, 2, 3, 4, ...) No (N nula) znaci da je i nula ukljucena u skup prirodnih brojeva

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C= ∅ - prazan skup (skup bez elemenata)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Venov Dijagram - graficko predstavljanje skupova. Kada skupovi imaju zajednicke elemente zatvorene krive linije (najcesce su to krugovi ali moze biti bilo kakva zatvorena kriva linija) se preklapaju, kada nema zajednickih elemenata nema ni preklapanja.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D = {1, 2, 3, 4, 5}; E = {1, 2, 3, 4, 5. 6. 7}

D ⊂ E - D je podskup skupa E. Kod podskupova vazi i  da je svaki skup podskup samom sebi (E ⊂ E), a prazan skup je uvek podskup bilo kog skupa.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

F = {1, 2, 3}; G={3, 1, 1, 2, 2};

F = G - jednakost skupova: Vazno je da svi elementi budu isti, nije vazno koliko se puta ponavljaju i kojim su redom zapisani.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

H = {1, 2, 3}; J = {0, 2 , 4, 5}; H ∩ J = {2}

H ∩ J - presek skupova: U preseku skupova se nalaze elementi koji su zajednicki za te skupove i uvek vazi  H ∩ J = J ∩ H.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

K = {a, b, c}; L= {b, c, d}; K ∪ L = {a, b, c, d}

K ∪ L - unija skupova: Svi elementi iz svh skupova koji pripadaju uniji, isti eleenti iz tih skupova se zapisuju samo jednom

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

M = {10, 15, 20}; N = {10, 20, 30}; M \ N = {15}

M \ N - razlika skupova: Samo elementi koji se nalaze u jednom skupu (M), elementi koji se nalaze u preseku skupova M i N nisu deo razlike. Ovde vazi i pravilo da M \ N nikada nije isto sto i N \ M

N \ M = {30}