Uglovi

Ugao je geometrijski objekat koji se sastoji od ugaone linije i dela ravni koji je odredjen tim linijama,

Ugaona linija se sastoji od dve poluprave koje imaju zajedničku početnu tačku, Te poluprave se nazivaju kraci,  a zajednička tačka (odakle počinju poluprave) teme ugla.

Uglovi se obelezavaju malim slovima Grčkog alfabeta (ᵦ, ᵧ)

Kada se ugao obeeležava tačkama (npr. ∡ABC) srednje slovo je uvek teme ugla (slovo B u primeru)

Ugao može biti konveksan ili nekonveksan

Konveksni ugao - potrebno je da kroz bilo koje dve tačke unutar oblasti ugla može da se povuče duž, ali tako da cela duž bude unutar oblasti ugla.

Nekonveksan ugao - kada nacrtana duž bilo kojim delom izlazi iz oblasti ugla

Kružni luk i Tetiva

Svaki ugao čije je teme u centru kruga je centralni ugao tog kruga.

Tetiva je duž koja spaja dve tačke na kružnici.

Tetiva koja prolazi kroz centar kruga naziva se prečnik kruga (ili prečnik kruznice)

Kružni luk - je deo kružnice ograničen sa dve tve tačke koje se nalaze na toj kružnici

Kruzni luk - kruga obuhvata oblast izmedju centra kruga i tačaka koje se nalaze na kružnici (ne zaboravi da je krug sačinjen od kruznice i unutrašnje oblasti).

Uporedjivanje uglova

Što su kraci otvoreniji ugao je veći - Što su kraci zatvoreniji ugao je manji.

Podudarni uglovi su zapravo isti uglovi.

Vrste uglova

Mera za uglove je stepen (°)

Oštar ugao je svaki ugao manji od 90°

Prav ugao mera je uvek 90°

Opružen ugao mera je uvek 180° kraci su uvek na istoj pravoj

Pun ugao mera punog ugla je 360°

Komplementni uglovi uvek moraju biti oštri uglovi, a njihov zbir je uvek prav ugao (90°)

Suplementni uglovi su oni uglovi čiji je zbir opružen ugao (180°)

Sabiranje i Oduzimanje uglova

1° = 60′ (1 stepen =  60 minuta)
1′ = 60″ (1 minut = 60 sekundi)

primer sabiranje

54° 43′ 37″ +  21° 22′ 17″ = ?

54  43  37
21  22  17
------------
            54 - prvo sabiramo sekunde
      65  54 - pa minute, kada je zbir veći od 60 minuta (isto važi za sekunde, ali njih pretvaramo u minute), tih 60 minuta pretvaramo u 1 stepen a ostatak zapisujemo kao minute, tako da sada imamo:

  1
54  43  37
21  22  17
------------
            54
      05  54
76  05  54

54° 43′ 37″ +  21° 22′ 17″ = 76° 05′ 54″

primer oduzimanje

90° - 33° 24′ 38″ = ?

Pošto nemamo minute i sekunde kod umanjenika, moramo da uzmemo 1 stepen i pretvorimo ga u minute, a zatim 1 minut u sekunde, dakle:

90° = 89° 60′

89° 60′ = 89° 59′ 60″

89  59  60
33  24  38
------------
56  35  22

90° - 33° 24′ 38″ = 56° 35′ 22″

Množenje i Deljenje uglova

Uvek se prvo množe sekunde, pa minuti i na kraju stepeni. I vde se svakih 60 sekundi zapisuje kao minut, a svakih 60 minuta kao stepen

primer množenja

55° 32′ 20″ x 3 = 165° 96′ 60″ = 165° 97′ (sekunde smo pretvorili u minut, a pošto nema ostatka sekunde ne zapisujemo) = 166° 37′ (na kraju smo minute pretvorili u stepene i zapisali ostatak)

primer deljenja

Prvo se dele sekunde, pa minuti i na kraju stepeni.

! Kod deljenja se stepeni pretvaraju u minute, a minuti u sekunde sve dok sva tri broja ne budu deljiva sa traženim brojem

147° 45′ : 2 = 147° 44′ 60″ : 2 (kako bi minuti bili deljivi sa dva) = 146° 104′ 60″ : 2 (kako bi stepeni bili deljivi sa dva, i tek sad počinjemo deljenje) = 73° 52′ 30″

Uporedni i Unakrsni uglovi

Uporedni uglovi su oni uglovi koji u preseku prava daju opružen ugao

Unakrsni uglovi su podudarni, a nalaze se jedan nasuprot drugog u preseku prava

Uglovi na transferzali

Transferzala je bilo koja prava koja seče dve paralelne prave

Deljenje za peti razred - Vežbanje za kontrolni

1A. Rastavi broj 196 na proste činioce.

1B. Rastavi broj 250 na proste činioce.

2A. Odredi nepoznatu cifru x tako da je petocifreni broj 1301x deljiv sa:

a) 5;

b) 3.

Izračunaj zbir svih tako određenih petocifrenih brojeva.

2B. Odredi nepoznatu cifru x tako da je petocifreni broj 1007x deljiv sa:

a) 2;

b) 9.

Izračunaj zbir svih tako određenih petocifrenih brojeva.

3A. Odredi najmanji zajednički sadržalac brojeva 3⋅14+6,36,3⋅3⋅2⋅5

3B. Odredi najmanji zajednički sadržalac brojeva 48,2⋅2⋅2⋅7,2⋅24−14

4A. Tri štapa dužina 48cm,60cm,90cm treba iseći na komade jednakih dužina tako da budu maksimalne moguće dužine. Koliko takvih komada možeš dobiti?

4B. Jelena, Marija i Biljana često idu u školsku biblioteku. Jelena ide svakih 4 dana, Marija svakih 6 dana, Biljana svakih 8 dana. Kog datuma u septembru će sve tri ponovo zajedno posetiti biblioteku ako se zna da su to učinile 2. septembra?


5A. Broj 51 napiši u obliku zbira dva broja tako da kada se veći broj podeli manjim bude količnik 5 i ostatak 3.

5B. Broj 82 napiši u obliku zbira dva broja tako da kada se veći broj podeli manjim bude količnik 3 i ostatak 2.

Zadaci mogu biti i ovakvi:

1A. Koliki je količnik q i ostatak pri deljenju broja 215 sa brojem 11?

1B. Odredi vrednost cifre x tako da broj 40x2 bude deljiv sa brojem 4.

1C. Napiši najmanji četvorocifreni broj deljiv brojem 9.

1D. Odredi vrednost cifre x tako da broj 27x5 bude deljiv sa brojem 3.

1E. Napiši najveći četvorocifreni broj deljiv brojem 4.

1F. Koliki je količnik q i ostatak rpri deljenju broja 112 sa 12?


2A. Odredi najveći zajednički delilac brojeva 1700 i 1190.

2B. Odredi najmanji zajednički sadržalac brojeva 2300 i 1610

2C. Odredi :

a) S(10, 35);    b) S(33, 55, 66);  

c) D(34,51);     d) D(28, 42, 56).

2D, Odredi NZS i NZD za brojeve 32, 56.


3A. Od brojeva 12, 32, 42 koja dva broja imaju:

a) najveći zajednički delilac broj 4;

b) najmanji zajednički sadržalac broj 84?

3B. Od brojeva 16, 20, 32 koja dva broja imaju:

a) najveći zajednički delilac broj 8;

b) najmanji zajednički sadržalac broj 80?

3C. Napiši sve četvorocifrene brojeve za koje važi:

a) 2∣340∗;  b) 9∣72∗9;  c) 4∣50∗6.

3D. Napiši sve četvorocifrene brojeve za koje važi:

a) 2∣509∗;  b) 9∣1∗43;  c) 4∣81∗8.


4. Kolaž papir je pravougaonog oblika i dimenzija 210mm×135mm. Ružica treba da ga iseče na što je moguće veće jednake kvadratiće.

 a) Kolika je površina jednog kvadratića?

 b) Koliko je kvadratića isekla Ružica?


5A. Na stanicu A stigli su istovremeno u 12:00 časova, tramvaj i autobus. Tramvaj prođe kroz tu stanicu u razmacima na svakih 1 sat i 30 minuta a autobus na 2 sata. U koliko časova će se ponovo naći na stanici A, istovremeno i tramvaj i autobus?

5B. Učiteljica želi da svakom učeniku pokloni jednak broj čokoladnih i jednak broj žele bombona. Za to joj je potrebno 42 čokoladne i 28 žele bombona. Koliko učenika ima u odeljenju? Koliko je čokoladnih a koliko žele bombona dobio svaki učenik?

Rešenja

Deljenje za Peti Razred

DELJENIK : DELILAC = KOLIČNIK

Deljenje bez ostatka:

 585 : 15 = 39
-45
----
 135
-135
------
     0

* Kada su deljenik i delilac prirodni brojevi, a količnik takodje prirodan broj onda kažemo da delilac deli deljenik, a to se zapisuje ovako delilac∣deljenik tj. (u gornjem primeru) 15∣585

Deljenje sa ostatkom

 85 : 7 = 12 (1)
-7
-----
 15
-14
------
   1

* Ostatak pri deljenju mora uvek biti manji od delioca!

primer

 1019 : 10 = 101 (9)
-10
------
   01
  -00
------
    19
   -10
-------
      9

Delilac i Sadržilac

* Delilac nekog broja je svaki prirodan broj kojim je taj broj deljiv.

primer: 18 : 2 = 9 (dva je delilac broja 18)

* Sadržilac nekog broja je svaki prirodan broj koji je deljiv tim brojem

primer: 18 : 2 = 9 (18 je sadržilac broja 2)

Skupovi Delilaca

* Skup delilaca se obeležava velikim slovom D i traženim brojem u indeksu. Na primer za broj 5 se zapisuje: D₅.

primeri;

Napiši skup svih delilaca broja 5

D₅ = {1, 5} jer se broj 5 može dobiti jedino kada se pomnože 1 i 5

Napiši skup svih delilaca broja 20

D₂₀ = {1, 2, 4, 5, 10, 20}  jer se broj 20 može dobiti množenjem 1x20; 2x10 i 4x5

* Svaki skup delilaca nekog broja počinje sa 1,  a završava se tim (traženim) brojem. (kao u gornjem primeru počeo je sa 1, a završio se sa 20)

* Elementi skupa su svi brojevi kojima je moguće podeliti traženi broj, a da nema ostatka (u gornjem primeru je traženi broj 20, a njega možemo deliti sa 1, 2, 4, 5, 10 i 20)

još jedan primer:

D₆₀ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} broj 60 se dobija: 1x60; 2x30, 3x20, 4x15, 5x12 i 6x10

Skupovi Sadržilaca

* Svaki skup sadržilaca se obeležava velikim slovom S i brojem u indeksu. Na primer za broj 8 zapisuje se S₈

* Ovi skupovi imaju beskonačan broj elemenata i uvek počinju tim (traženim) brojem.

* Pravilo za pronalaženje elemenata tog skupa: prvo se upiše traženi broj, a zatim se on množi sa 2, 3, 4, 5 ...

primeri

S₈ = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ...} - prvo smo upisali tra\eni broj 8, a zatim 8 množili sa 2, 3, 4, 5, 6, 7... (nije važno koliko puta pomnožite ovaj broj pre nego što stavite tačke za beskonačno)

Zadatak

Odredi sve trocifrene brojeve koji manji ili jednaki broju 300, a koji su i sadržaoci broja 25 i delioci broja 300

prvo tražimo sadržioce broja 25
S₂₅ = {25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300}

a zatim delioce broja 300
D₂₅ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 30, 60, 70, 75, 100, 150, 300} 1x300, 2x150, 3x100, 4x75, 5x 60, 6x70 i 10x30

zajednički elementi u oba skupa su odgovor

to su brojevi 100, 150 i 300

Svojstva deljivosti

* Zbir brojeva je deljiv nekim brojem ako je svaki od tih sabiraka deljiv tim brojem

5∣(25 + 15) ovo tvrdjenje je tačno jer su i 25 i 15 deljivi sa 5, tako da i bez provere znamo da je i zbir deljiv sa 5

5∣(7 + 8) kada oba broja nisu deljiva sa traženim brojem moramo izvršiti proveru, odnosno sabrati dva broja 8 + 7 = 15, sada znamo da je i ovo tvrdjenje tačno

* Razlika (kao i kod sabiranja)  brojeva je deljiva nekim brojem ako umanjenik i umanjilac deljivi tim brojem

8∣(48 - 16) oba broja su deljiva sa 8 tako da znamo da je i razlika deljiva sa 8

8∣(35 - 3) ovde mora da se radi provera 35 - 3 = 32, i ovo tvrdjenje je tačno

* Proizvod dva broja je deljiv nekim brojem ako je makar jedan činioc deljiv tim brojem

4∣(16 x 9) - tačno tvrdjenje zato što je jedan činioc (16) deljiv sa 4

Zadatak

Ako je tačno tvrdjenje 18∣378 pronadji netačna tvrdjenja

1∣378   2∣378   3∣378    4∣378   9∣378    12∣378

ovo se proverava tako što se proverava deljivost delioca tj.

1∣18   2∣18   3∣18   4∣18    9∣18   12∣18 (samo 4 i 12 nisu deljivi sa 18)

odavde vidimo da su netačna tvrdjenja

4∣378 i 12∣378

Deljivost dekadnim jedinicama

Dekadni brojevi su 10, 100, 1000, 10000 ...

Neki broj je deljiv dekadnom jedinicom, samo ako se taj broj završava sa minimum onoliko nula koliko ima ta dekadna jedinica.

da pojasnim

* Sa 10 su deljivi svi brojevi koji na kraju imaju bar jednu nulu (npr. 50, 470, 1580 ,,,)

* Sa 100 su deljivi svi brojevi koji se završavaju sa bar dve nule (npr 1100, 14500 ...)

* Sa 1000 su deljivi svi brojevi  koji na svom završetku imaju bar tri nule (npr 12000, 181000 ,,,)

Deljivost sa 2, 4, 5 i 25

2 - svi parni brojevi koji se završavaju na 0, 2, 4, 6 i 8 (npr. 188, 240, 2308 ...)

4 - svi brojevi čije su zadnje dve cifre deljive sa 4 (npr. 432, 1236, 5000 ...)

* Nula je deljiva sa svakim brojem

5 - svi brojevi čije su zadnje cifre 0 i 5 (npr 440, 1225, 1815 ...)

25 - Svi brojevi čije su zadnje dve cifre 00, 25, 50 i 75 (npr 180, 225, 1050, 2775 ...)

Zadatak

Pronadji najveći četvorocifren broj deljiv sa 2, 4, 5 i 25

9999

zapisali smo najveći četvorocifren broj sada gledamo uslove paran, deljiv sa četiri, da se završava na o ili 5, tj na 00, 25, 50, 75

9975 nije paran, 9950 nije deljiv sa 4, 9925 nije paran, 9900 ovaj broj ispunjava sve uslove

odgovor: 9900

Deljivost sa 3 i 9

3 - svi brojevi čiji je zbir cifara deljiv sa tri (npr. 189, 234, 1008 ...)

objašnjenje

189 je 1 + 8 + 9 = 18 (18 je deljivo sa 3 pa je i 189 deljivo sa 3)

234 je 2 + 3 + 4 = 9 (9 je deljivo sa 3 pa je i 234 deljivo sa 3)

1008 je 1 + 0 + 0 + 8 = 9 (9 je deljivo sa 3 pa je i 1008 deljivo sa 3)

9 - svi brojevi čiji je zbir cifara deljiv sa 9 (npr. 1188, 2151 ...)

objašnjenje

1188 je 1 + 8 + 8 + 1 = 18 (18 je deljivo sa 9 pa je i 1188 deljivo sa 9)

2151 je 2 + 1 + 5 + 1 = 9 (9 je deljivo sa 9 pa je i 2151 deljivo sa 9)

Zadatak

Koje cifre se mogu staviti umesto zvezdice tako da važi:

a) 3∣54*

uvećavamo broj za 3 kako bi ostao deljiv, a krećemo id 0 zata što 5 + 4 jesu deljivi sa 3

5 + 4 + 0 = 9

5 + 4 + 3 = 12

5 + 4 + 6 = 15

5 + 4 + 9 = 18

3∣54* umesto zvezdice mogu stajati 0, 3, 6 i 9

b) 3∣1*30

kreće od 2 zato što je 1 + 3 = 4 a 2 fali do prvog broja deljivog sa 3

1 + 3 + 2 = 6

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 8 = 12

3∣1*30 umesto zvezdice mogu stajati 2, 5, 8

c) 3∣*91

9 + 1 + 2 = 12

9 + 1 + 5 = 15

9 + 1 + 8 = 18

3∣*91 umesto zvezdice mogu stajati 2, 5, 8

d) 9∣97*43      

9 + 7 + 4 + 3 + 4 = 27

9∣97*43 umesto zvezdice može stajati 4

(druge brojeve ne proveravamo zato što je prvi sledeći 4 + 9 a njihov rezultat nije cifra već broj)

* Cifre su 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Deljivost sa 6, 12 i 15

* Da bi neki broj bio deljiv sa 6 on mora biti deljiv sa 2 i sa 3 (3x2=6)

Jednostavnije, taj broj mora da ispuni dva uslova: da je paran (deljiv sa 2) i da je zbir cifara koji ga čine deljiv sa 3 (ispunjava uslov broja 3)

primer

174 je deljiv sa 6 zato što je paran broj  i zato što je zbir 1 + 7 + 4 = 12 deljiv sa brojem tri

* Da bi neki broj bio deljiv sa 12 on mora biti deljiv sa 3 i 4 (3x4=12)

Jednostavnije, taj broj mora da ispuni dva uslova: da je zbir cifara tog broja deljiv sa 3 (uslov broja 3) i da su njegove zadnje dve cifre deljive sa 4 (uslov broja 4)

primer

744 je deljiv sa 12 zato što je 7 + 4 + 4 = 15, a 15 je deljivo sa 3 i zato što je 44 deljivo sa 4 (44:4=11)

* Da bi neki broj bio deljiv sa 15 on mora biti deljiv sa 3 i 5 (3x5=15)

Jednostavnije, taj broj mora da ispuni dva uslova: zbir cifara tog broja mora biti deljiv sa 3 i mora da se završava na 0 ili 5

primer

7245 je deljiv sa 12 zato što je 7 + 2 + 4 + 5 = 18, a 18 je deljivo sa 3 i zato što se broj završava sa 5

Prosti i Složeni Činioci

* Prosti brojevi su oni koji imaju samo dva delioca, a to su 1 i sam taj broj (primer: 23 je moguće podeliti samo sa brojem 1 i sa brojem 23, zato je on prost broj). Može se reći i da su deljivi brojem jedan i samim sobom.

* Složeni brojevi su svi brojevi koji imaju više od dva delioca (primer: 18 je moguće podeliti brojevima 1, 2, 3, 6, 9 i 18, ovo je složen broj)

* Jedan (1) nije prost broj zato što nema 2 delioca

Zadatak

Napiši delioce datih brojeva i odredi da li su prost ili složeni

1 - 1
2 - 1, 2 prost
3 - 1,3 prost
4 - 1,2, 4 složen
5 - 1, 5 prost
6 - 1, 2, 3, 6 složen
7 - 1, 7 prost
8 - 1, 2, 4 složen
9 - 1, 3, 9 složen

Mala pomoć oko prostih brojeva

Prosti brojevi do 100 su: 2   3   5   7   11   13   17   19   23   29  31   37   41   43   47   53   59   61   

67   71  73   79   83   89   97 

Nakon broja 2 svi drugi prosti brojevi su neparni zato što je svaki paran broj deljiv sa 2 pa samim tim ima i više od dva delioca

ako vam je potrebno i Eratostenovo sito evo ga do broja 100

Rastavljanje na proste činioce

* Rastavljanje na proste činioce nekog broja podrazumeva da se taj broj predstavi u obliku proizvoda prostih brojeva

primeri

15 je lako rastaviti na 3 i 5 (3x5=15), a 3 i 5 su prosti brojevi

 24
 /  \
2x12 (24 smo prvo rastavili na 2x12 i dobili jedan prost broj 2)
     /  \
    2x6 (pošto je 2 prost broj rastavljamo samo broj 12 i tako smo dobili još jedan prost broj 2)
       /  \
      2x3 (ostalo nam je još da rastavimo broj 6, a pošto su i 2 i 3 prosti činioci ovde završavamo)

lakši način

24 2
12 2
  6 2
  3 3
  1

preostalo je još da to i zapišemo:

2 x 2 x 2 x 3 = 24

a ovo se može zapisati i kao

2³ x 3 = 12

2³ je isto što i 2 x 2 x 2

Zadatak

Proizvod prostih činilaca je zapisan kao 2³ x 3 x 5² koji je to broj?

2³ x 3 x 5² = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 8 x 3 x 25 = 24 x 25 = 600

to je broj 600

NZD Najmanji Zajednički Delilac

* NZD je zapravo najveći broj kojim je moguće podeliti dva ili više tražena broja

Jednostavnije, ako su traženi brojevi 12 i 24 njihov NZD mora biti najveći broj kojim je moguće podeliti i 12 i 24. Znamo da su ova dva broja deljiva sa  1, 2,3 ... ali je najveći broj kojim možemo podeliti ova dva broja broj 12, a to zapisujemo ovako:

NZD(8, 12) = 12

ponekad, u zadacima će umesto NZD stajati samo D što znači da smo gornje rešenje mogli da zapišemo i kao

D(12, 24) = 12

E, sad.. Evo kako smo do ovoga stigli

Oba tražena broja moraju biti deljiva sa prostim brojem...

proveravamo deljivost oba broja sa prostim brojevima počev od najmanjeg

12   24  2

 6    12  2 (i dalje je moguće podeliti ih sa 2)

 3     6   3 (brojeve 3 i 6 delimo sledećim prostim brojem)

 3     2   - ovo su uzajamno prosti brojevi

Uzajamno prosti brojevi se mogu podeliti samo brojem 1

e, sad... potrebno je da pomnožimo proste brojeve koje smo zapisali:

2 x 2 x 3 =   4 x 3 = 12

znači

NZD(12, 24) = 12

primeri

Da ponovimo... Potragu za NZD brojem počinjte od najmanjeg prostog broja, broja 2. Kada ne možete oba broja da podelite sa 2, prelazite na sledeći najmanji prost broj a to je broj 3, pa 5, pa 7 itd.

kratak primer

NZD(350, 455)

Dvojka ne može zato što je 455 neparan. Trojka ne može zato što zbir cifara je u jednom slučaju 8 (što je dovoljno) a u drugom 14. Idemo na sledeći, a to je prost broj 5, on ispunjava uslov zato što se oba broja završavaju na 0 ili 5

350  455  5
  70    91

70 i 91 su uzajamno prosti brojevi jer se mogu podeliti samo brojem 1, što znači

NZD(350, 455) = 5

NZS Najmanji Zajednički Sadržalac

* NZS je zapravo najmanji broj koji je moguće podeliti sa dva tražena broja

primer

Ako su dati brojevi 3 i 5 njihov NZS, odnosno broj koji je moguće podeliti i sa 3 i sa 5, je 15. To zapisujemo ovako:

NZS(3,5) = 15

ili ovako

S(3,5) = 15

Evo kako smo do ovoga došli

kada tražimo NZS dovoljno je da samo jedan od brojeva bude deljiv sa prostim brojem; i ovde krećemo od najmanjeg prostog broja

pošto ni 3 ni 5 nisu deljivi sa 2, prelazimo na sledeći prost broj 3. On jeste deljiv sa 3 i to je dovoljno

3  5  3
1  5  5
1  1

Kad stignemo do obe 1 završavamo postupak. U gornjem slučaju smo sa brojem 3 prvo završili i potom samo prepisivli jedinicu na kraju, a potom smo našli i najmanji prost broj kojim je deljiv broj 5 (a to je broj 5 jer 2 i 3 nisu deljivi sa 5) i potom smo i njega sveli na broj 1)

Ostalo nam je (kao i kod NZD broja) da pomnožimo proste broje:

NZS(3,5) = 3 x 5 = 15

NZS(3,5) = 15

primeri

Pazi da uvek krećeš od najmanjeg prostog broja kojim je moguće podeliti bar jedan od traženih brojeva!

primer

ako su dati brojevi 10 i 25 nikad ne krećeš sa 5 kojim su deljiva oba broja, već sa brojem 2 zato što je 10 deljivo sa 2!!!

10  25  2
 5   25  5
 1     5  5
 1     1

NZS(10, 25) = 2 x 5 x 5 = 10 x 5 = 50

Postoje još neki načini za pronalaženje NZD i NZS broja mada se ova dva (već objašnjena načina) najviše koriste

Idemo... NZD sva tri načina

NZS oba načina

Matematika za Petake - Geometrijski Objekti

Tacka, Prava i Ravan su osnovni geometrijski objekti.

Tacka se uvek obelezava velikim slovom latinice: A, B, C ...

Prava se uvek obelezava malim slovom latinice: a, b, c ...

Ravan se uvek obelezava malim slovima grckog alfabeta: α, β, γ ...

Kolinearne tacke: Tri ili vise tacaka koje se nalaze na istoj pravoj.

Nekolinearne tacke: Tri ili vise tacaka koje se ne nalaze na istoj pravoj

primer: 

Broj pravih koji se moze nacrtati kroz:

jednu tacku: beskonacno

dve tacke: jedna

tri tacke: jedna (ako su kolinearne); tri (ako su nekolnearne)

cetiri tacke: jedna (ako su sve kolinearne); cetiri (ako su tri kolinearne); sest (ako su nekolinearne)

Paralelne prave ( ∥ ): Kada dve prave nemaju zajednicku tacku one su paralelne.

Na gornjoj slici mozemo odrediti sledece:

a ⊂ α; b ⊂ α; c ⊥ α - Prave koje se nalaze u ravni cine podskup te ravni (a i b). Za pravu koja stoji uspravno u odnosu na ravan kazemo da je normalna u odnosu na nju (c).

E ∈ α; G ∈ α;; D ∉ α - Tacke koje se nalaze u ravni jesu elemnti te ravni (E, F, G, H). Tacke van ravni nisu njeni elementi (D).

E ∈ a; H ∈ b; H ∈ c; D ∉ a -Tacke koje se nalaze na odredjenoj pravoj jesu elementi te prave. Za sve druge tacke kazemo da nisu njeni elementi

a ∥ b; c ⊥ b - Prave a i b se nigde ne seku i one su paralelne. Prava c lezi uspravno u odnosu na pravu b tj. normalna je u odnosu na tu pravu.

Posto nijedna prava na slici nema tri ili vise zajednickih tacaka, mozemo reci da su tacke nekolinearne.

-----------------------

Poluprava, Poluravan, Duz

Poluprava se obelezava velikim slovom (pocetna tacka) i malim slovom (poluprava koja polazi iz te tacke); Ab, Cd ...

Poluravan je odrdjena pravom (ukljucujuci i tu pravu) i delom ravni. Zato se obelezava sa malim slovom (prava) i slovom grckog afabeta (ravan); bα, dβ ...

Duz se obelezava sa dva velika slova (tacke koje odredjuju tu duz): AB, CD ...

U ravni fβ odredi sledece:

FD ∩ DG = {D} - Odredjujemo sta je zajednicko za ove dve duzi (FD i DG), a to je tacka D

CD ∪ DE = CE - Uniju dve duzi (CD i DE) cini nova duz (CE)

(FD ∪ DG ) ∩ (CD ∪ DE) = FG ∩ CE = {D} - Najpre odredjujemo sta je u zagradama, a potom njihov presek

* Kada u preseku nema zajednickih elemenata onda se to obelezava kao prazan skup (∅).

Prava podeljena tackom daje dve poluprave koje se obicno obelezavaju istim slovom. Jedna malim slovom (b), a druga uz slovo ima dodatak prim (b'): Ab, Ab', Bd, Bd' ...

Konstruisanje duzi se uvek radi sestarom tako sto se jedna po jedna (manja) duz prenosi na pravu koja se nacrta pre uzimanja sestara u ruke.

-----------------------

Izlomljena linija

Zatvorena izlomljena linija mora da se zavrsi u tacki u kojoj je i pocela (npr. izlomljena linija sa tackama A, B, C i D mora biti zapisana kao ABCDA tj spajamo tacke A i B, pa B i C, pa C i D i na kraju D i A).

Drugim recima, ako je pocetak prve duzi ujedno i kraj zadnje duzi to je zatvorena izlomljena (kriva) linija.

Ono sto se nalazi unutar zatvorene krive linije naziva se unutrasnja oblast, sve drugo je spoljna oblast.

* U zadacima, tacke se u zatvorenu krivu liniju mogu postavljati u unutrasnju oblast, spoljnu oblast ili na samoj liniji (tacke koje pripadaju liniji).

-----------------------

Mnogougao

Mnogougao je zatvorena kriva linija u kojoj nema tacki presecanja, a dobija se spajanjem susednih tacaka.

Mnogougao moze biti koveksna ili nekonveksna figura.

Konveksne figure su one kod kojih se spajanjem bilo koje dve tacke unutar figure (kreiranjem duzi) ne napusta unutrasnjost figure.

Nekonveksne figure su one kod kojih se spajanjem bilo koje dve tacke unutar figure (kreiranjem duzi) napusta unutrasnjost figure.

-----------------------

Kruznica i Krug

Kruznica je linija. Krug je oblast koju cine kruznica i unutrasnji deo

Kruznica se obelezava malim slovom latinice. Krug velikim slovom latinice.

Kruznica se belezi na sledeci nacin:

kruznica(centar kruznice, poluprecnik) ili skraceno  k(c, r)

Kruznica i prava

Kruznica i prava se mogu naci u tri polozaja:

a) p ∩ k = ∅

b) p ∩ k = {A} (prava p se naziva tangenta)

c) p ∩ k = {A, B}

Tangenta je prava koja dodiruje kruznicu u jednoj tacki.

Poluprecnik je uvek normalan na tangentu.

* Jedini nacin da se na kruznici nacrtaju dve paralelne prave je da se njihove tacke nalaze na suprotnim stranama kruznice (sto znaci da se prvo mora nacrtati precnik kruznice kako bi se odredile te dve tacke)

Medjusobni polozaj kruznice i krugova

Svi polozaji u kojima se mogu naci dve kruznice:

a) Rastojanje izmedju centara je vece od zbira poluprecnika AB > r1 + r2;  

k1 ∩ k2 = ∅; K1 ∩ K2 = ∅;

b) Rastojanje izmedju centara je jednako zbiru poluprecnika AB = r1 + r2;

k1 ∩ k2 = {C}; K1 ∩ K2 = {C};

c) Rastojanje izmedju centara je manje od zbira poluprecnika AB < r1 + r2;

primer 1 k1 ∩ k2 = {C, D}; K1 ∩ K2 = cela oblast gde se seku krugovi;

primer 2 k1 ∩ k2 = {F}; K1 ∩ K2 = K2(B, r2) ceo manji krug;

primer 3 k1 ∩ k2 = ∅; K1 ∩ K2 = K2(B, r2) ceo manji krug;

* k je kruznica; K je krug

Matematika za Petake - Izrazi

Sredjivanje izraza ide ovim redom:

- Zagrada u zagradi
- Zagrada
- Mnozenje i deljenje
- Sabiranje i oduzimanje

(10 + (15 - 7) : 2) x 4 - 20 = (10 + 8 : 2) x 4 - 20 = (10 + 4) x 4 - 20 = 14 x 4 - 20 = 56 - 20 = 36

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

U jednacinama, kada broj prelazi sa leve na desnu stranu, samo u dva slucaja se ne menja znak:

// broj minus nepoznata
20 - x = 5
x = 20 - 5
x = 15

// broj podeljeno sa nepoznatom
33 : y = 11
y = 33 : 11
y = 3

U svim drugim slucajevima plus prelazi u minus i obratno. Kao sto i puta prelazi u podeljeno i obratno.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Prethodnik, Broj, Sledbenik primeri:

Prethodnik: 7
Broj: 8
Sledbenik: 9

Prethodnik: x - 1
Broj: x
Sledbenik: x + 1

Prethodnik: 5 + y - 2
Broj: 5 + y - 3
Sledbenik: 5 + y - 1

Zadatak:

Cole i Lola imaju zajedno 400 pesama u telefonu. Cole ima 20 pesama vise od Lole. Odredi ko koliko pesam ima.

* malo x je puta, veliko X je nepoznata

// prvo postavimo jednacinu, a zatim se oslobadjamo zagrade
X + (X + 20) = 400
X + X + 20 = 400
2 x X + 20 = 400

// odeadjujemo nepoznati sabirak
2 x X = 400 - 20
2 x X = 380
X = 380 : 2
X = 190

// Sada znamo koliko Lola ima pesama, potrebno je da odredimo koliko ima Cole
X + 20 tj. 190 + 20 = 210

Cole: 210 pesama
Lola: 190 pesama

// ako je potrebna provera
210 + 190 = 400

Matematika za Petake - Skupovi

B = {1, 3, 5}

Naziv skupa se uvek pise velikim slovom latinice (A, B ...)

∈ - element skupa (1 ∈ B)

∉ - nije element skupa (2 ∉ B)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A = {X | X ∈ N i X < 10} - element X (X) pripada (|) skupu prirodnih brojeva (X ∈ N) koji su manji od 10 (X < 10)

* N je oznaka za prrodne brojeve (1, 2, 3, 4, ...) No (N nula) znaci da je i nula ukljucena u skup prirodnih brojeva

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C= ∅ - prazan skup (skup bez elemenata)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Venov Dijagram - graficko predstavljanje skupova. Kada skupovi imaju zajednicke elemente zatvorene krive linije (najcesce su to krugovi ali moze biti bilo kakva zatvorena kriva linija) se preklapaju, kada nema zajednickih elemenata nema ni preklapanja.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D = {1, 2, 3, 4, 5}; E = {1, 2, 3, 4, 5. 6. 7}

D ⊂ E - D je podskup skupa E. Kod podskupova vazi i  da je svaki skup podskup samom sebi (E ⊂ E), a prazan skup je uvek podskup bilo kog skupa.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

F = {1, 2, 3}; G={3, 1, 1, 2, 2};

F = G - jednakost skupova: Vazno je da svi elementi budu isti, nije vazno koliko se puta ponavljaju i kojim su redom zapisani.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

H = {1, 2, 3}; J = {0, 2 , 4, 5}; H ∩ J = {2}

H ∩ J - presek skupova: U preseku skupova se nalaze elementi koji su zajednicki za te skupove i uvek vazi  H ∩ J = J ∩ H.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

K = {a, b, c}; L= {b, c, d}; K ∪ L = {a, b, c, d}

K ∪ L - unija skupova: Svi elementi iz svh skupova koji pripadaju uniji, isti eleenti iz tih skupova se zapisuju samo jednom

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

M = {10, 15, 20}; N = {10, 20, 30}; M \ N = {15}

M \ N - razlika skupova: Samo elementi koji se nalaze u jednom skupu (M), elementi koji se nalaze u preseku skupova M i N nisu deo razlike. Ovde vazi i pravilo da M \ N nikada nije isto sto i N \ M

N \ M = {30}